高二数学上册3章课后强化练习题（有答案）

详细内容

3章章末归纳总结

一、选择题
1．已知cosα－π4＝14，则sin2α的值为(　　)
A.3132　　　　　　　　
B．－3132
C．－78
D.78
[答案]　C
[解析]　方法1：sin2α＝cos(π2－2α)＝2cos2(α－π4)－1＝－78，故选C.
方法2：cos(α－π4)＝22cosα＋22sinα＝14
两边平方得，12＋12sin2α＝116，
∴sin2α＝－78，故选C.
2．若0<α<β<π4，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则(　　)
A．aB．a>b
C．ab<1
D．ab>2
[答案]　A
[解析]　sinα＋cosα＝2sinα＋π4，sinβ＋cosβ＝2sinβ＋π4，因为0<α<β<π4，所以π4<α＋π4<β＋π4<π2，所以sinα＋π4[点评]　比较大小的一般方法是作差比较，在本题中作差比较法无疑是命题者给出的一个陷阱．本题若不用辅助公式先化简再比较大小是较难解答的．
3．(08•重庆理)函数f(x)＝sinx－13－2cosx－2sinx　(0≤x≤2π)的值域是(　　)
A．[－22，0]
B．[－1,0]
C．[－2，0]
D．[－3，0]
[答案]　B
[解析]　∵0≤x≤2π，f(x)＝sinx－1(cosx－1)2＋(sinx－1)2
≥sinx－1|sinx－1|＝－1，
又f(0)＝－1，∴选B.
[点评]　本题求函数的值域显然不能用通性通法求解．改变一下系数，上述解法就不能应用．这类题目就属于“偏”，“难”，“怪”类，通过此题想提醒师生注意，平时尽量避免做这类练习，这不是我们训练的方向和高考命题的方向．偶尔遇到时，可依据题目特点，把思维发散开去看有何特殊方法技巧．
4．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝m，m2＋sinα，其中λ、m、α为实数．若a＝2b，则λm的取值范围是(　　)
A．[－6,1]
B．[4,8]
C．(－∞，1]
D．[－1,6]
[答案]　A
[解析]　∵2b＝(2m，m＋2sinα)，a＝2b，
∴λ＋2＝2m，λ2－cos2α＝m＋2sinα，
∴(2m－2)2－m＝cos2α＋2sinα，
即4m2－9m＝－3－sin2α＋2sinα，
又∵－sin2α＋2sinα－3＝－(sinα－1)2－2∈[－6，－2]，
∴－6≤4m2－9m≤－2，
解得14≤m≤2，∴12≤1m≤4，
又∵λ＝2m－2，∴λm＝2－2m，
∵－6≤2－2m≤1，∴－6≤λm≤1.
二、填空题
5．求值：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________.
[答案]　0
[解析]　令α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cosα＝12sinα＋32cosα＋32cosα－12sinα－3cosα＝0.
6．已知A、B、C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为________．
[答案]　180°
[解析]　∵tanA＝1，tanB＝2
∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝1＋21－1×2＝－3
又tanC＝3，
∴tan(A＋B＋C)＝tan(A＋B)＋tanC1－tan(A＋B)tanC
＝－3＋31－(－3)×3＝0
∵A、B、C都是锐角，∴0°故A＋B＋C＝180°.
三、解答题
7．已知锐角α、β满足tan(α－β)＝sin2β，求证：2tan2β＝tanα＋tanβ.
[分析]　要证的结论中只有正切，因此化弦为切，顺理成章．
[解析]　∵tan(α－β)＝sin2β，
tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ，
sin2β＝2sinβcosβ＝2sinβcosβsin2β＋cos2β＝2tanβ1＋tan2β，
∴tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2tanβ1＋tan2β.
去分母整理得：tanα＝3tanβ＋tan3β1－tan2β.
∴tanα＋tanβ＝3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β1－tan2β
＝2×2tanβ1－tan2β＝2tan2β.
8．若2sinπ4＋α＝sinθ＋cosθ，2sin2β＝sin2θ，求证：sin2α＋12cos2β＝0.
[解析]　由2sin(π4＋α)＝sinθ＋cosθ得2cosα＋2sinα＝sinθ＋cosθ，两边平方得
2(1＋sin2α)＝1＋sin2θ，即sin2α＝12(sin2θ－1)①
由2sin2β＝sin2θ得，1－cos2β＝sin2θ②
将②代入①得
sin2α＝12[(1－cos2β)－1]得sin2α＝－12cos2β
即sin2α＋12cos2β＝0.
9．化简：2sin22α＋3sin4α－4tan2αsin8α•1－tan22α(1＋tan22α)2.
[解析]　原式＝2sin22α＋3sin4α－2sin8α•2tan2α1＋tan22α•1－tan22α1＋tan22α＝2sin22α＋3sin4α－2sin8α•2sin2αcos2αcos22α＋sin22α•cos22α－sin22αcos22α＋sin22α
＝2sin22α＋3sin4α－2sin8α•sin4α•cos4α
＝2sin22α＋3sin4α－1＝3sin4α－cos4α
＝232sin4α－12cos4α＝2sin4α－π6.
[点评]　(1)在变形过程中注意到式子的结构与三角公式的形式对应起来，以进行合理的搭配，从而直接运用公式，而非盲目地套用公式(如将sin22α降次处理虽然也可以，但不如上面的解法流畅，从而减少了变形的中间环节，也减小了出错率)．
(2)三角变换的基本思想是：①降次(化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数，一般运用公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2)，这必然会引起角的倍数的增大(单角化为倍角))；②统一函数名称(化多种三角函数为单一的三角函数)；③统一角(化多角为单一角，减少角的种类)．
10．向量a＝(cos23°，cos67°)，向量b＝(cos68°，cos22°)．
(1)求a•b；
(2)若向量b与向量m共线，u＝a＋m，求u的模的最小值．
[解析]　(1)a•b＝cos23°•cos68°＋cos67°•cos22°
＝cos23°•sin22°＋sin23°•cos22°＝sin45°＝22.
(2)由向量b与向量m共线知存在实数λ，使m＝λb，
∴u＝a＋m＝a＋λb
＝(cos23°＋λsin22°，sin23°＋λcos22°)，
|u|2＝(cos23°＋λsin22°)2＋(sin23°＋λcos22°)2
＝1＋λ2＋2λ(sin20°cos23°＋cos22°sin23°)
＝λ2＋2λ＋1＝λ＋222＋12，
∴当λ＝－22时，|u|有最小值22.