圆锥曲线与方程期末复习题（带详解新人教A版选修2-1）
详细内容
圆锥曲线与方程期末复习题（带详解新人教A版选修2-1）
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是 ( )．
A．(0，1) B．(1，0)
C．(0，116) D．(116，0)
解析 将抛物线方程变为x2＝2×18y，知p＝18，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它
的焦点坐标为(0，116)．
答案 C
2．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )．
A．2 B．3 C．5 D．7
解析 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D.
答案 D
3．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )．
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
解析 因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，
所以圆的半径r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D.
答案 D
4．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )．
A.x216－y248＝1
B.x29－y227＝1
C.x216－y248＝1或y29－x227＝1
D．以上都不对
解析 当顶点为(±4，0)时，a＝4，
c＝8，b＝43，x216－y248＝1；
当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，
b＝33，y29 －x227＝1.
答案 C
5．已知椭圆与双曲线x23－y22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为 ( )．
A.x220＋y225＝1 B.x225＋y220＝1
C.x225＋y25＝1 D.x25＋y225＝1
解析 双曲线x23－y22＝1中a12＝3，b12＝2，则c1＝a12＋b12＝5，故焦点坐标为(－5，
0)，(5，0)，故所求椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的c＝5，又椭圆的离心率e＝ca＝15，则a
＝5，a2＝25，b2＝a2－c2＝20，故椭圆的标准方程为x225＋y220＝1.
答案 B
6．已知椭圆x241＋y225＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 ( )．
A．10 B．20 C．241 D．441
解析 |AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|B F2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a
＝441.
答案 D
7．双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )．
A．2 B.3 C.2 D.32
解析 双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y＝±bax，依题意
ba•(－ba) ＝－1，故b2a2＝1，
所以c2－a2a2＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝2.故选C.
答案 C
8．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是 ( )．
A．(34π，π) B．(π4，34π)
C．(π2，π) D．(π2，34π)
解析 椭圆方程化为x21sin α＋y2－1cos α＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－1cos α>1sin α>0.
又∵0≤α<2π，
∴π2<α<3π4.
答案 D
9．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1•x2＝－12，则m等于 ( )．
A.32 B．2 C.52 D．3
解析 依题意kAB＝y2－y1x2－x1＝－1，
而y2－y1＝2(x22－x12)，得
x2＋x1＝－12，且(x2＋x12，y2＋y12)
在直线y＝x＋m上，即y2＋y12＝x2＋x12＋m，
y2＋y1＝x2＋x1＋2m，
∴2(x22＋x12)＝x2＋x1＋2m，
2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，
2m＝3，m＝32.
答案 A
10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 ( )．
A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1
C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝1
解析 圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根
据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b＝2，得a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是x25
－y24＝1.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．)
11．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.
解析 ∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得
（p2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p＝4.
答案 4
12．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．
解析 当0
m＝14，a2＝1m＝4，a＝2；
当m>1时，x21＋y21m＝1，a＝1.应填1或2.
答案 1或2
13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c＝7，e＝274
＝ca，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，因此所求双曲线的方程是x24－y23＝1.
答案 x24－y23＝1
14．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
解析 由题意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
|PF1|＝2•2c，
从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(2＋1)，
所以e＝2c2a＝12＋1＝2－1.
答案 2－1
三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
解 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．
由椭圆x28＋y24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，
∴ba＝3，解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.
16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
解 由共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，可设椭圆方程为y2a2＋x2a2－25＝1；
双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1，点P(3，4)在椭圆上，16a2＋9a2－25＝1，a2＝40，
双曲线的过点P(3，4)的渐近线为
y＝b25－b2x，即4＝b25－b2×3，b2＝16.
所以椭圆方程为y240＋x215＝1；
双曲线方程为y216－x29＝1.
17．(10分)已知抛物线y2＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．
解 由题意知直线l的斜率存在，
设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
解方程组y＝kx＋2，y2＝2x，
消去x得ky2－2y＋4＝0，
Δ＝4－16k>0⇒k<14(k≠0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝2k，y1•y2＝4k，
x1＝12y12x2＝12y22⇒x1•x2＝14(y1•y2)2＝4k2
OM⊥ON⇒kOM•kON＝－1，
∴x1•x2＋y1•y2＝0，
∴4k2＋4k＝0，解得k＝－1.
所以所求直线方程为y＝－x＋2，
即x＋y－2＝0.
18．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
解 (1)易得椭圆方程为x22＋y2＝1.
(2)∵F1(－1，0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由y＝－2x－2x22＋y2＝1得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－169，x1•x2＝23，
∴|CD|＝1＋（－2）2|x1－x2|
＝5•（x1＋x2）2－4x1x2
＝5•（－169）2－4×23＝1092，
又点F2到直线BF1的距离d＝455，
故S△CDF2＝12|CD|•d＝4910.
19．(12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝35，
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．
解 (1)由y2＝4x，y＝2x＋m，得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0
由根与系数的关系得
x1＋x2＝1－m，x1•x2＝m24，
|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2
＝1＋22（1－m）2－4•m24＝5（1－2m）.
由|AB|＝35，
即5（1－2m）＝35⇒m＝－4.
(2)设P(a，0)，P到直线AB的距离为d，
则d＝|2a－0－4|22＋（－1）2＝2|a－2|5，
又S△ABP＝12|AB|•d，则d＝2•S△ABP|AB|，
2|a－2|5＝2×935⇒|a－2|＝3⇒a＝5
或a＝－1，
故点P的坐标为(5，0)和(－1，0)．