高二数学选修2-3模块检测题(含答案2013北师大版)

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(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则xy可表示不同的值的个数是(　　)
A．1＋1＝2　　　　　　　 B．1＋1＋1＝3
C．2×3＝6D．3×3＝9
【解析】　两个集合各有三个元素，且任何两个xy都不相同，故由分步乘法计数原理得3×3＝9.
【答案】　D
2．设随机变量ξ～N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于(　　)
A.12pB．1－p
C．1－2p D.12－p
【解析】　∵P(ξ>1)＝p且对称轴为ξ＝0，知P(ξ<－1)＝p，
∴P(－1<ξ<0)＝1－2p2＝12－p.
【答案】　D
3．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x(℃)181310－1
用电量y(度)24343864
由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为(　　)
A．58B．66
C．68D．70
【解析】　x＝18＋13＋10－14＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，
所以a＝y－bx＝40－(－2)×10＝60.
所以，当x＝－4时，y＝bx＋a＝－2×(－4)＋60＝68.
【答案】　C
4．如果有95%的把握说事件A与B有关系，那么具体计算出的数据(　　)
A．χ2>3.841B．χ2<3.841
C．χ2>6.635D．χ2<6.635
【解析】　利用临界值表可得：χ2>3.841.
【答案】　A
5．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图1，则成绩X位于区间(52,68)的人数大约是(　　)

图1
A．997B．954
C．683D．341
【解析】　由题图知X～N(μ，σ2)，
其中μ＝60，σ＝8，
∵P(μ－σ∴人数为0.683×1 000＝683.
【答案】　C
6．若(x＋12x)n的展开式前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为(　　)
A．6B．7
C．8D．9
【解析】　(x＋12x)n的二项展开式的通项为Tr＋1＝Crn•xn－r•(2x)－r＝Crn•2－r•xn－2r，前三项的系数为20•C0n，2n－1•C1n，2－2•C2n.由它们成等差数列，得n＝8或n＝1(舍去)．由展开式，令8－2r＝4，得r＝2，所以x4项的系数为C28•2－2＝7.
【答案】　B
7．(2013•四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)
A．9B．10
C．18D．20
【解析】　从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.
【答案】　C
8．(2013•课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5B．6
C．7D．8
【解析】　(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，
∴a＝Cm2m.
同理，b＝Cm＋12m＋1.
∵13a＝7b，∴13•Cm2m＝7•Cm＋12m＋1.
∴13•2m！m！m！＝7•2m＋1！m＋1！m！.
∴m＝6.
【答案】　B
9．(2013•山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．243B．252
C．261D．279
【解析】　0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
【答案】　B
10．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12.构造数列{an}，使an＝1，当第n次出现正面时，－1，当第n次出现反面时，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，当S2＝2且S8＝2时的概率为(　　)
A.732 B.3128
C.13128 D.564
【解析】　当前2次同时出现正面时，S2＝2，要使S8＝2，则需要后6次出现3次反面，3次正面，相应的概率为P2＝12×12×C36×(12)3×(12)3＝564.
【答案】　D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．
【解析】　甲、乙、丙都没有击中目标的概率是(1－12)(1－13)(1－14)＝14，故目标被击中的概率为1－14＝34.
【答案】　34
12．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
【解析】　50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37.
【答案】　37
13．(2012•湖南高考)(2x－1x)6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
【解析】　∵(2x－1x)6＝(2x－1x)6＝2x－16x3，
又∵(2x－1)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1)r，
令6－r＝3，得r＝3.
∴T3＋1＝－C36(2x)3＝－20×23•x3＝－160x3.
∴(2x－1x)6的二项展开式中的常数项为－160.
【答案】　－160
14．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)
【解析】　可分三步来做这件事．
第一步：先将3,5排列，共有A22种排法；
第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；
第三步：将1,2放到3,5,4,6形成的空中，共有C15种排法．
由分步计数原理得共有A22•2A22•C15＝40种．
【答案】　40
15．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是________．
【解析】　设事件A发生一次的概率为p，则事件A的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，即可得4(1－p)≤6p，p≥0.4.又因0【答案】　0.4≤p<1
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知(xx＋23x)n展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项？一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．
【解】　展开式的通项为Ckn(xx)n－k•(23x)k＝Ckn•2k•x (k＝0,1,2，…，n)；
由题意，得C0n20＋C1n2＋C2n22＝129.所以1＋2n＋2n(n－1)＝129，则n2＝64，即n＝8.故Ck8•2k•x72－11k6(k＝0,1,2，…，n)；若展开式存在常数项，则72－11k6＝0，解之，得k＝7211∉Z，所以展开式中没有常数项．若展开式中存在一次项，则72－11k6＝1，即72－11k＝6，所以k＝6，所以展开式中存在一次项，它是第7项，C6826x＝1 792x.
17．(本小题满分12分)某5名学生的总成绩与数学成绩如下表：
学生ABCDE
总成绩(x)482383421364362
数学成绩(y)7865716461
(1)画出散点图；
(2)求数学成绩对总成绩的回归方程；
(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩(参考数据：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819 794,482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137 760)．
【解】　(1)散点图如图所示：

(2)b＝∑5i＝1xiyi－5xy∑5i＝1x2i－5x2
＝137 760－5×3395×2 0125819 794－5×2 01252≈0.132，
a＝y－bx＝3395－0.132×2 0125＝14.683 2，
所以回归方程为y＝14.683 2＋0.132x.
(3)当x＝450时，y＝14.683 2＋0.132×450＝74.083 2≈74，即数学成绩大约为74分．
18．(本小题满分12分)有研究者欲考察某一高考试题的得分情况是否存在性别差异，统计结果如下：及格的人中男生有290人，女生有100人，不及格的人中男生有160人，女生有350人，试根据这些数据判断这试题的得分情况与性别是否有关系？
【解】　根据题中的数据建立如下列联表：
得分情况
性别　　及格不及格总计
男生290160450
女生100350450
总计390510900
χ2＝900×290×350－100×1602450×450×390×510≈163.35，
∵163.35>6.635，∴有99%的把握认为这一试题的得分情况与性别有关系．
19．(本小题满分13分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5名医生参加赈灾医疗队，则：
(1)某内科医生必须参加某外科医生不能参加，有多少种选法？
(2)至少有一名内科医生且至少有一名外科医生参加有几种选法？
【解】　(1)某内科医生参加，某外科医生不参加，只要从剩余的18名医生中选4名即可．故有C11C418＝3 060(种)．
(2)法一　(直接法)至少有一名内科医生且至少有一名外科医生参加的方法可以分为四类：“一内四外、二内三外、三内二外、四内一外”．故有
C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)．
法二　(间接法)问题的反面是5名内科医生或者5名外科医生参加，故有：C520－(C58＋C512)＝14 656(种)．
20．(2013•课标全国卷Ⅰ)(本小题满分13分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单元：元)，求X的分布列及数学期望．
【解】　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14，
所以以X的分布列为
X400500800
P1116
116
14

EX＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.
21．(本小题满分13分)(2013•四川高考)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

图2
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)

乙的频数统计表(部分)

当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表
示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(2)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
【解】　(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝13；
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝16.
所以输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C03×130×233＝827，
P(ξ＝1)＝C13×131×232＝49，
P(ξ＝2)＝C23×132×231＝29，
P(ξ＝3)＝C33×133×230＝127.
故ξ的分布列为
ξ0123
P827
49
29
127

所以Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.
即ξ的数学期望为1.