圆锥曲线与方程练习题（2013北师大版有答案）

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一、选择题
1. (2012•绥德高二检测)椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±3，0)B．(±32，0)
C．(0，±32)D．(0，±3)
【解析】　∵y21＋x214＝1，
∴椭圆的焦点在y轴上，并且a2＝1，b2＝14，
∴c2＝34.
即焦点坐标为(0，±32)．
【答案】　C
2. 椭圆x225＋y216＝1上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为(　　)
A．2B．3
C．5D．7
【解析】　P到两焦点的距离和为2a＝10，∴另一距离为7.
【答案】　D
3. 已知B、C是两个定点，且BC＝8，则到这两个定点的距离的和是8的点的轨迹是(　　)
A．椭圆B．圆
C．线段D．射线
【解析】　由于动点到这两个定点的距离的和是8，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条线段．
【答案】　C
4. 椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝(　　)
A．－1B．1
C.5D．－5
【解析】　化椭圆方程为标准形式x2＋y25k＝1，因为点(0，2)是椭圆的一个焦点，所以5k－1＝4，∴k＝1.
【答案】　B
5. “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】　把椭圆方程化成x21m＋y21n＝1.若m>n>0，则1n>1m>0，所以焦点在y轴上；反之，亦成立．
【答案】　C
二、填空题
6. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
【解析】　由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于2a，可得△ABC的周长为4a＝43.
【答案】　43
7. 已知焦点在x轴上的椭圆，焦距为4，且过点A(3，0)，则该椭圆的标准方程为________．
【解析】　由c＝2可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－4＝1，将点A(3，0)代入，得a2＝9，
所以标准方程为x29＋y25＝1.
【答案】　x29＋y25＝1
8. 已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】　由题意，得12|PF1||PF2|＝9，　　　①|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2，②|PF1|＋|PF2|＝2a，③
解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3.
【答案】　3
三、解答题
9. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
【解】　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)，
∴a＝2，b＝1.
故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
∵点P(0，－10)在椭圆上，
∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8.
从而b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的标准方程是y2100＋x236＝1.
10. 求焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点的椭圆的标准方程．
【解】　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15.
所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.
11.

如图所示，已知定点A(－2，0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64(F为圆心)上的一点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程．
【解】　连接PA，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心F(2，0)，半径R＝8.

∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，
∴PA＝PB.
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8>|AF|＝4. 图2－1－1

由定义知点P的轨迹是一椭圆．
则依题意有2a＝8，c＝2，
∴a＝4，b2＝12.
∴动点P的轨迹方程为x216＋y212＝1.