2013高考数学三角函数的图象与性质复习试题（带课件）

详细内容

2013年高考数学总复习 4-3 三角函数的图象与性质但因为测试 新人教B版

1.(2011•大纲全国卷理，5)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)
A.13　　　　　　　　　B．3
C．6 D．9
[答案]　C
[解析]　由题意知，π3＝2πω•k(k∈Z)，
∴ω＝6k，令k＝1，∴ω＝6.
2．(文)(2011•海淀模拟)函数f(x)＝sin(2x＋π3)图象的对称轴方程可以为(　　)
A．x＝π12 B．x＝5π12
C．x＝π3 D．x＝π6
[答案]　A
[解析]　令2x＋π3＝kπ＋π2得x＝kπ2＋π12，k∈Z，
令k＝0得x＝π12，故选A.
[点评]　f(x)＝sin(2x＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A.
(理)(2011•衡水质检)函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝π4对称，则φ的可能取值是(　　)
A.3π4 B．－3π4
C.π4 D.π2
[答案]　A
[解析]　∵y＝cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，∴x＋φ＝kπ，即x＝kπ－φ，令π4＝kπ－φ得φ＝kπ－π4(k∈Z)，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.
3．(文)(2011•唐山模拟)函数y＝sin(2x＋π6)的一个递减区间为(　　)
A．(π6，2π3) B．(－π3，π6)
C．(－π2，π2) D．(π2，3π2)
[答案]　A
[解析]　由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2得，
kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3　(k∈Z)，
令k＝0得，π6≤x≤2π3，故选A.
(理)(2010•安徽巢湖质检)函数f(x)＝sinωx－π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.kπ－π6，kπ＋5π6(k∈Z)
B.kπ＋5π6，kπ＋11π6(k∈Z)
C.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)
D.kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)
[答案]　C
[解析]　由条件知，T＝2πω＝π，∴ω＝2，
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z得，
kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，故选C.
4．(文)(2011•湖南张家界月考)若函数f(x)＝(1＋3tanx) cosx,0≤x<π2，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．2
C.3＋1 D.3＋2
[答案]　B
[解析]　f(x)＝(1＋3tanx)cosx
＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6，
∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<2π3，
∴12≤sinx＋π6≤1，∴f(x)的最大值为2.
(理)(2011•大连模拟)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为(　　)
A.23 B.32
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　∵f(x )＝2sinωx(ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2
∴T4≤π3，即π2ω≤π3，
∴ω≥32，即ω的最小值为32.
5．(文)(2011•吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则(　　)

A．ω＝π2，φ＝ π4
B．ω＝π3，φ＝π6
C．ω＝π4，φ＝π4
D．ω＝π4，φ＝5π4
[答案]　C
[解析]　∵T4＝3－1＝2，∴T＝8，∴ω＝2πT＝π4.
令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C.
(理)(2011•北京海淀期中)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f(x)＝cos2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　B
[解析]　f(x)＝12＋12cos(2ωx＋2φ)，由图可知T2<1<34T，∴43又ω∈N*，∴ω＝2.故选B.
6．(文)(2011•课标全国文，11)设函数f(x)＝sin(2x＋π4)＋cos(2x＋π4)，则(　　)
A．y＝f(x)在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x＝π4对称
B．y＝f(x)在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x＝π2对称
C．y＝f(x)在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x＝π4对称
D．y＝f(x)在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x＝π2对称
[答案]　D
[解析]　f(x)＝sin2x＋π4＋cos2x＋π4
＝2sin2x＋π2＝2cos2x.
则函数在0，π2单调递减，其图象关于直线x＝π2对称．
(理)(2011•河南五校联考)给出下列命题：
①函数y＝cos(23x＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tanα其中正确命题的序号为(　　)
A．①③ B．②④
C．①④ D．④⑤
[答案]　C
[解 析]　①y＝cos(23x＋π2)⇒y＝－sin23x是奇函数；
②由sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sinα＋cosα＝32；
③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，
即tanα④把x＝π8代入y＝sin(2x＋5π4)得y＝sin3π2＝－1，
所以x＝π8是函数y＝ sin(2x＋5π4)的一条对称轴；
⑤把x＝π12代入y＝sin(2x＋π3)得y＝ sinπ2＝1，
所以点(π12，0)不是函数y＝sin(2x＋π3)的对称中心．
综上所述，只有①④正确．
[点评]　作为选择题，判断①成立后排除B、D，再判断③(或④)即可下结论．
7．(文)函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为[－12 ，1]，则b－a的最小值为________．
[答案]　2π3
[解析]　cosx＝－12时，x＝2kπ＋2π3或x＝2kπ＋4π3，k∈Z，cosx＝1时，x＝2kπ，k∈Z.
由图象观察知，b－a的最小值为2π3.
(理)(2011•江苏南通一模)函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(x∈R)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．
[答案]　1
[解析]　f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sin(ωx＋π3)，
由f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T4＝π2，T＝2π，所以ω＝1.
8．(2011•安徽百校论坛联考)已知f(x)＝2sin2x－π6－m在x∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
[答案]　[1,2)
[解析]　f(x)在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f(x)＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，
∴y＝2sin2x－π6，x∈[0，π2]与y＝m有两个不同交点，∴1≤m<2.
9．(文)(2011•福建质检)已知将函数f(x)＝2sinπ3x的图象向左平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则函数g(x)＝________.
[答案]　2sinπ3x＋2
[解析]　将f(x)＝2sinπ3x的图象向左平移1个单位长度后得到y＝2sin[π3(x＋1)]的图象，向上平移2个单位长度后得到y＝2sin[π3(x＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝g(x)＝2sin[π3(2－x＋1)]＋2＝2sin(π－π3x)＋2＝2sinπ3x＋2.
(理)(2011•济南调研)设函数y＝2sin(2x＋π3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－π2，0]，则x0＝________.
[答案]　－π6
[解析]　∵函数y＝2sin(2x＋π3)的对称中心是函数图象与x轴的交点，∴2sin(2x0＋π3)＝0，
∵x0∈[－π2，0 ]∴x0＝－π6.
10．(文)(2011•北京文，15)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1

＝4cosx(32sinx＋12cosx)－1
＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x
＝2sin(2x＋π6)．
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.
于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；
当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.
(理)(2011•天津南开中学月考)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a•b＋32.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．
[解析]　(1)f(x)＝sinxcosx－3cos2x＋32
＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋32
＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，
所以f(x)的最小正周期为π.
令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，
∴x＝kπ2＋π6，k∈Z.
故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π6，0)(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3.
∴－32≤sin(2x－π3)≤1，即f(x)的值域为[－32，1].

11.(文)(2011•苏州模拟)函数y＝sinx•|cosxsinx|(0
[答案]　B
[解析]　y＝sinx•|cosxsinx|
＝cosx，0(理)(2011•辽宁文，12)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y＝f(x)的部分图像如图，则f(π24)＝(　　)

A．2＋3 B.3
C.33 D．2－3
[答案]　B
[解析]　由图可知：T＝2×(38π－π8)＝π2，
∴ω＝πT＝2
又∵图象过点(38π，0)
∴A•tan(2×38π＋φ)＝A•tan(34π＋φ)＝0
∴φ＝π4
又∵图象还过点(0,1)，∴Atan(2×0＋π4)＝A＝1
∴f(x)＝tan(2x＋π4)
∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)
＝tan(π12＋π4)＝tanπ3＝3
12．(文)为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(　　)
A．98π B.1972π
C.1992π D．100π
[答案]　B
[解析]　由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914•T＝1974•2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.
(理)有一种波，其波形为函数y＝sinπ2x的图象，若在区间[0，t](t>0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
[答案]　C
[解析]　∵y＝sinπ2x的图象在[0，t]上至少有2个波峰，函数y＝sinπ2x的周期T＝4，
∴t≥54T＝5，故选C.
13．(文)(2011•南昌调研)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝π12对称，则在下面四个结论中：
①图象关于点(π4，0)对称；
②图象关于 点(π3，0)对称；
③在[0，π6]上是增函数；
④在[－π6，0]上是增函数中，
所有正确结论的编号为________．
[答案]　②④
[解析]　由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，
∴f(x)＝sin(2x＋π3)，当x＝π4时，f(π4)＝12≠0，故①错；当x＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2　(k∈Z)得，kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，令k＝0得，－5π12≤x≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④.
(理)(2011•南京模拟)已知函数f(x)＝xsinx，现有下列命题：
①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　①④
[解析]　∵y＝x与y＝sinx均为奇函数，∴f(x)为偶函数，故①真；∵f(π2)＝π2，f(π2＋2π)＝π2＋2π≠π2，
∴②假；∵f(π2)＝π2，f(3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x10)，∴f(x)在[0，π2]上为增函数，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[－π2，0]上为减函数，∴④真．
14．(文)(2011•长沙一中月考)已知f(x)＝sinx＋sin(π2－x)．
(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f(α)的值；
(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
[解析]　(1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.
∵sin2α＝13＝2sinα•cosα>0，α∈[0，π]，
∴α∈(0，π2)，sinα＋cosα>0.
由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα•cosα＝43，
得sinα＋cosα＝233，∴f(α)＝233.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(x＋π4)，又0≤x≤π，
∴f(x)的单调递增区间为[0，π4]．
(理)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(b,2a－c)，n＝(cosB，cosC)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设f(x)＝cosωx－B2＋sinωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB，
∴bcosC＋osB＝2acosB.
由正弦定理得，sinBcosC＋sinosB＝2sinAcosB，
即sin(B＋C)＝2sinAcosB.
又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB.
又sinA≠0，∴cosB＝12.又B∈(0，π)，∴B＝π3.
(2)由题知f(x)＝cos(ωx－π6)＋sinωx
＝32cosωx＋32sinωx＝3sin(ωx＋π6)，
由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋π6)，
当x∈[0，π2]时，(2x＋π6)∈[π6，7π6]，
sin(2x＋π6)∈[－12，1]．
因此，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值3.
当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－32.
15．(文)(2011•福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋23sinxcosx＋2cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．
[解析]　f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，
(1)由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)
得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，
∴f(x)的单调减区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)，
(2)由sin(2x＋π6)＝0得2x＋π6＝kπ(k∈Z)，
即x＝kπ2－π12(k∈Z)，
∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．
(3)由f(α)＝f(β)得：
2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)，
又∵角α与β的终边不共线，
∴(2α＋π6)＋(2β＋π6)＝2kπ＋π(k∈Z)，
即α＋β＝kπ＋π3(k∈Z )，∴tan(α＋β)＝3.
(理)(2011•浙江文，18)已知函数f(x)＝Asin(π3x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<π2.y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
[解析]　(1)由题意得，T＝2ππ3＝6
因为P(1，A)在y＝Asin(π3x＋φ)的图象上，
所以sin(π3＋φ)＝1.
又因为0<φ<π2，所以φ＝π6
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)

由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4
所以Q(4，－A)．
连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝23π，由余弦定理得
cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP•RQ＝A2＋9＋A2－9＋4A22A•9＋A2＝－12，
解得A2＝3　又A>0，所以A＝3.
16．函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx满足：f(0)＝2，f(π3)＝12＋32.
(1)求 函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若α、β∈(0，π)，f(α)＝f(β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．
[解析]　(1)由f0＝2fπ3＝12＋32，
得2a＝212a＋34b＝12＋32，解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋π4)＋1，
∵－1≤sin(2x＋π4)≤1，
∴f(x)max＝2＋1，f(x)min＝1－2.
(2)由f(α)＝f(β)得，sin(2α＋π4)＝sin(2 β＋π4)．
∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β，
∴2α＋π4＝π－ (2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)，
∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1.

1．(2011•济南模拟)函数f(x)＝2cos2x－3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为 (　　)
A．2π，3 B．2π，1
C．π，3 D．π，1
[答案]　C
[解析]　由题可知，f(x)＝2cos2x－3sin2x＝cos2x－3sin2x＋1＝2sin(π6－2x)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3，故选C.
2．(2011•江门模拟)设f(x)是定义域为R，最小正周期为3π2的函数，若在区间[－π2，π]上f(x)＝cosx，－π2≤x<0，sinx，0≤x≤π，则 f(－15π4)等于(　　)
A．1 B.22
C．0 D．－22
[答案]　B
[解析]　∵函数f(x)的最小正周期为32π，
∴f(－154π)＝f(－15π4＋3×32π)
＝f(34π)＝sin34π＝22.
3．(2011•湖北文，6)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为(　　)
A．{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
B．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z}
C．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z}
D．{x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z}
[答案]　A
[解析]　f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)≥1，
即sin(x－π6)≥12，∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋5π6，
即2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π.
4．(2011•北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　D
[解析]　f(x)的周期T＝2ππR＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R>3，则2R>23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.
5.(2011•北京西城模拟)函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝(　　)

A．10 B．8
C.87 D.47
[答案]　B
[分析]　利用正弦函数的周期、最值等性质求解．
[解析]　如图，过P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝2ππ＝2，tanα＝

ACPC＝121＝12，tanβ＝BCPC＝321＝32，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα•tanβ＝12＋321－12×32＝8，∴选B.
6．(2010•合肥质检)对任意x1，x2∈0，π2，x2>x1，y1＝1＋sinx1x1，y2＝1＋sinx2x2，则(　　)
A．y1＝y2
B．y1>y2
C．y1D．y1，y2的大小关系不能确定
[答案]　B
[解析]　取函数y＝1＋sinx，则1＋sinx1x1的几何意义为过原点及点(x1,1＋sinx1)的直线斜率，1＋sinx2x2的几何意义为过原点及点(x2,1＋sinx2)的直线斜率，由x1y2.选B.
7．(2010•福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：
x01234
y101－1－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
[答案]　y＝2sinπ3x＋π6
[解析]　∵(0,1)和(2,1)关于直线x＝1对称，故x＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A＝2，由过(0,1)点知2sinφ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，
∴y＝2sinωx＋π6，再将点(2,1)代入得，
2sin2ω＋π6＝1，
∴2ω＋π6＝π6＋2kπ或2ω＋π6＝5π6＋2kπ，k∈Z，
∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y＝2sinπ3x＋π6.
8．(2011•菏泽模拟)对于函数f(x)＝sinx，sinx≤cosxcosx，sinx>cosx，给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1；
③该函数的图象关于直线x＝5π4＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)
[答案]　③④
[解析]　画出函数f(x)的图象，易知③④正确．
9．已知函数f(x)＝3sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[解析 ]　(1)f(x)＝3sin(2x－π6)＋1－cos2(x－π12)＝232sin2x－π6－12cos2x－π6＋1
＝2sin(2x－π3)＋1.
所以最小正周期为T＝π.
(2)当f(x)取最大值时，只要sin(2x－π3)＝1，得出x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴x值的集合为{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．
[点评]　差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．