2012年高三上册入学摸底考试理科数学卷（带答案）

详细内容

山东省临朐二中2013届高三入学摸底考试
数学理
一 选择题
1. 是虚数单位，若集合 = ，0，1 ，则（ ）
A． B． C． D． ∈

答案：A
2.△ABC的三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大的内角为
A．150° B．135°
C．120° D．60°

答案：A
3.对于一切实数&当 变化时，所有二次函数. 的函数值恒为非负实数，则 的最小值是（ ）
A.2 B. 3 C. D.

答案：B
4.设函数 的图像在点 处切线的斜率为 ，则函数 的图像为 （ ）

答案：B
5.设 是定义在 上的增函数，且对于任意的 都有 恒成立. 如果实数 满足不等式组 ，那么 的取值范围是（ ）
A.(3, 7)B.(9, 25)C. (9, 49)D. (13, 49)

答案：D
6.已知 等于 （ ）
A． B． C． D．

答案：D
7.正四棱锥V―ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为 ，
则AB两点的球面距为（ ）
A． B． C． D．

答案：B
8.已知数列 为等差数列, 为其前 项和,且 ,则 （　　）
A．25 B．27 C．50D．54

答案：B
9.有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有（　　）
A．36种 B．12种 C．60种 D． 48种

答案：C
10.已知 ，若 的必要条件是 ，则 之间的关系是
（A） （B） （C） （D）

答案：A
11.将两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
A. n=0 B. n=1 C.n=2 D. n=4

答案：C
12.设函数 若关于x的方程f（x）=x+a有且只有两个实根，则实数a的范围是
A (2,4) B [3,4] C D

答案：B
二 填空题
13.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第 个图案中有白色地面砖 块.

答案：
14.设函数 ．若 有唯一的零点 （ ），则实数a＝ ．

答案：4
15.在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，
B（6，8），C(8，6),则D点的坐标为___________.

答案：（0，-2）
16.下列说法中正确的有________
①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。
④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。

答案：③④
三 解答题
17.已知向量 （1）当 时，求 的值；
（2）设函数 ，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为 ，若 ,求 的取值范围.

答案：解：（1） …………2分
…………6分
（2）
由正弦定理得 可得 ，所以 …………………9分


所以 --------------------12分
18.（本小题满分12分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，
随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数.
根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组频数频率

24
40.1
20.05
合计 1

（Ⅰ）求出表中 及图中 的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率.

答案：解（Ⅰ）由分组 内的频数是4，频率是0.1知， ，所以
因为频数之和为 ，所以 ， . ---4分
因为 是对应分组 的频率与组距的商，所以 ----------6分
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组 内的频率是 ，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 人. -------------8分
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有 人，设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 . 则任选 人共有 ， 15种情况， ---------------------------10分
而两人都在 内只能是 一种，所以所求概率为 ----12分
19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 为矩形， ， 为 的上一点，且 ， 为PC的中点.
（Ⅰ）求证： 平面AEC；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

答案：

建立如图所示空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， （2分）
（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为 ，∵ ，
∴由 得 ，令 ，得 (4分)
又 ∴ ， （5分）
， 平面AEC ∴ 平面AEC （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为 ，
又 为平面ACD的法向量， （8分）
而 ， （11分）
故二面角 的余弦值为 （12分）
20.已知数列{ }满足
⑴求数列{ }的通项公式；
⑵求数列{ }的前 .

答案：解（1）设数列 的前n项和为 ,则 ……………2分

…………………………………………6分
（2）由 ①
②……………………………8分
由②-①得， ………………………．．……10分

…………………………………………………………．．12分
21.（本题满分12分）
已知函数 ，设函数 ．
（1）求证：函数 必有零点
（2）若 在 上是减函数，求实数 的取值范围；
（3）是否存在整数 ，使得 的解集恰好是 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

答案：解：
-----------------------------------2分
---------3分

所以 ----------------------------------------------------------4分
因为 在[-1，0]是减函数，所以 ，解得 ；所以
当 ，
因为 在[-1，0]是减函数，所以方程的两根均大于零或一根大于零，另一根小于零，且
对称轴 --------------------------------------------------------------------------5分
所以 或 解得 所以
综上所述，实数m的取值范围是 ；-------------------------------------7分


--------------------12分
22.（本题满分14分）如图，曲线 是以原点O为中心、 为焦点的椭圆的一部分，曲线 是以O为顶点、 为焦点的抛物线的一部分，A是曲线 和 的交点且 为钝角，若 ， ，
（1）求曲线 和 的方程；
（2）过 作一条与 轴不垂直的直线，分别与曲线 依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问 是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

答案：解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ，则 ，
得 ……………2分
设 ，则 ， ，
两式相减得 ，由抛物线定义可知 ，
则 或 （舍去）
所以椭圆方程为 ，抛物线方程为 。 ……………6分
另解：过 作垂直于 轴的直线 ，即抛物线的准线，作 垂直于该准线，
作 轴于 ，则由抛物线的定义得 ，
所以

，
得 ，所以c＝1，

所以椭圆方程为 ，抛物线方程为 。 ……………6分