三角函数应用举例综合练习（带解析2015高考数学一轮）
详细内容
三角函数应用举例综合练习（带解析2015高考数学一轮）
A组 基础演练
1．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为
( )
A．1 B．2sin 10°
C．2 cos 10° D．cos 20°
解析：如图，∠ABC＝20°，
AB＝1，∠ADC＝10°，
∴∠ABD＝160°.
在△ABD中，由正弦定理得ADsin 160°＝ABsin 10°，
∴AD＝AB•sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.
答案：C
2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是
( )
A．c和a B．c和b
C．c和β D．b和α
解析：从题图中可以看出，不能直接测量出a及c，故A、B、C均不适宜．只需测量出b和α(在河边一侧即可测出)，此时，β＝π2－α，在△ABC中，利用正弦定理，可得bsin β＝asin α，∴a＝bsin αsin β＝bsin αcos α＝btan α.
答案：D
3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时
( )
A．5海里 B．53海里
C．10海里 D．103海里
答案：C
4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是
( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2•h•100•cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度为50 m.
答案：A
5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．
解析：由正弦定理，知BCsin 60°＝ABsin180°－60°－75°.解得BC＝56(海里)．
答案：56
6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
解析：如图所示，依题意有
AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°，
在△AMB中，
由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM＝302(km)．
答案：302
7．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD•AD•cos∠BDA，即142＝x2＋102－2•10x•cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
在△BCD中，由正弦定理：BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，
∴BC＝16sin 135°•sin 30°＝82.
答案：82
8．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.
解：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，
由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，
所以BC＝30sin 30°sin 135°＝152(m)．
在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝152tan 60°
＝156(m)．所以塔高AB为156m.
9．某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB＝80 m，BC＝70 m，CA＝50 m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．
(1)求∠BAC的大小；
(2)求点O到直线BC的距离．
解：(1)在△ABC中，因为AB＝80，BC＝70，CA＝50，
由余弦定理得cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC
＝802＋502－7022×80×50＝12.
因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝π3.
(2)因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，
所以点O为△ABC外接圆的圆心．
设外接圆的半径为R，
在△ABC中，由正弦定理得BCsin A＝2R，
因为BC＝70，由(1)知A＝π3，所以sin A＝32.
所以2R＝7032＝14033，即R＝7033.
过点O作边BC的垂线，垂足为D，
在△OBD中，OB＝R＝7033，BD＝BC2＝702＝35，
所以OD＝ OB2－BD2＝ 70332－352＝3533.
所以点O到直线BC的距离为3533m.
B组 能力突破
1．(2014•浙江金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)03691215182124
y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos wt＋b的图象．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为
A．10小时 B．8小时
C．6小时 D．1小时
解析：依题意得A＋b＝1.5－A＋b＝0.52πω＝12，A＝0.5，b＝1，ω＝π6，y＝0.5cosπ6t＋1.令y＝0.5cosπ6t＋1>1.25(t∈[0,24])得cosπ6t>12.又t∈[0,24]，π6t∈[0,4π]，因此0≤π6t＜π3或5π3＜π6t≤2π或2π≤π6t＜2π＋π3或2π＋5π3＜π6t≤2π＋2π，即0≤t＜2或10＜t≤12或12≤t＜14或22＜t≤24，在一日内，海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．
答案：B
2．(2014•北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是
( )
A．102海里 B．103海里
C．202海里 D．203海里
解析：如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，
∠ABC＝105°，
即AB＝40×12＝20(海里)．
∴∠BCA＝45°，
∴由正弦定理可得：ABsin 45°＝BCsin 30°.
∴BC＝20×1222＝102(海里)．
答案：A
3．上海世博园中的世博轴是一条1 000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧，现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是______m.
解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，
∴BC＝1 00033m.
答案：1 00033
4．景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.
(1)求索道AB的长．
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，
所以sin A＝513，sin C＝45.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝513×35＋1213×45＝6365.
由正弦定理ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B•sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)．
由于0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，
故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B•sin A＝1 2606365×513＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内．?