2015数学高考复习证明不等式的基本方法一轮专项训练

详细内容

2015高考数学证明不等式的基本方法一轮专项训练

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
【选题明细表】
知识点、方法题号
比较法证明不等式1、2、6、8、10、13
综合法与分析法证明不等式2、3、4、7、9、12、14、15
反证法与放缩法证明不等式5、11

一、填空题
1.若a>b>c,则 与 的大小关系为　　　　.
解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0,
∴ < .
答案: <
2.若a>b>1,则a+ 与b+ 的大小关系是　　　　.
解析:a+ - b+ =a-b+ = .
由a>b>1得ab>1,a-b>0,
所以 >0.即a+ >b+ .
答案:a+ >b+
3 .若0<α<β< ,sin α+cos α=a,sin β+cos β=b,则a与b的大小关系是　　　　.
解析:a2=1+sin 2α,b2=1+sin 2β,
又0<2α<2β< ,
∴sin 2α∴a2 又∵a,b均大于0,
∴a答案:a4.已知函数f(x)= ,a>0,b>0,a≠b,A =f ,B=f( ),C=f ,则A、B、C中最大的为　　　　.
解析:∵a>0,b>0,a≠b,
∴ > > ,
又函数f(x)= 在R上单调递减,
∴f 答案:C
5.若P= + + (x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系为　　　　.
解析:∵1+x>0,1+y>0,1+z>0,
∴ + + < + + =3.
即P<3.
答案:P<3
6.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则a、b应满足的条件是　　　　.
解析:x-y=(a2 b2+5)-(2ab-a2-4a)=(ab-1)2+(a+2)2>0,
∴ab-1≠0或a+2≠0,
故a,b满足的条件为ab≠1 或a≠-2.
答案:ab≠1或a≠-2
7.已知a>b>c,n∈N *,且 + ≥ 恒成立,则n的最大值为　　　　.
解析:∵a-c>0,
∴n≤ + = + =2+ + 恒成立,
∵a-b>0,b-c>0,
∴ + ≥2 =2.
∴n≤4.即n的最大值为4.
答案:4
8.设x>5,P= - ,Q= - ,则P与Q的大小关系为　　　　.
解析: - = - = - = + - - <0.
∴ < ,
又∵P>0,Q>0,∴P>Q.
答案:P>Q
9.已知a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最大值为　　　　.
解析:( + )2=a+1+b+1+2
=a+b+2+2
≤3+2× =6.
当且仅当a=b= 时等号成立.
即( + )2≤6,故 + ≤ .
答案:
10.某品牌彩电厂家为了打开市场,促进销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,现有四种降价方案:
(1)先降价a%,再降价b%;
(2)先降价b%,再降价a%;
(3)先降价 %,再降价 %;
(4)一次性降价(a+b)%.
其中a>0,b>0,a≠b,上述四个方案中,降价幅度最小的是　　　　.
解析:设降价前彩电的价格为1,降价后彩电价格依次为x1、x2、x3、x4.
则x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%•b%
x2=(1-b%)(1-a%)=x1,
x3=
=1-(a+b)%+ [(a+b)%]2,
x4=1-(a+b)%<1-(a+b)%+a%•b%=x1=x2,
x3-x1= -a%•b%>0,
∴x3>x1=x2>x4.
答案 :方案(3)
二、解答题
11.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a、b、c,若a、b、c三边边长的倒数成等差数列,求证∠B<90°.
证明:假设 ∠B<90°不成立,即∠B≥90°,
从而∠B是△ABC的最大角,
∴b是△ABC的最大边,
即b>a,b>c.
∴ > , > ,
相加得 + > + = .
这与已知 + = 矛盾,
故∠B≥90°不成立,从而∠B<90°.
12.(2012年高考江苏卷)已知实数x,y满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< .
证明:3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤
2|x+y|+|2x-y|,
由题设知|x+y|< ,|2x-y|< ,
从而3|y|< + = ,
所以|y|< .
13.设不等式|2x-1|<1的解集为M.
(1)求集合M;
(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.
解:(1)由|2x-1|<1,
得-1<2x-1<1,
解得0所以M={x|0(2)由(1)和a,b∈M可知
0所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0,
故ab+1>a+b.
14.已知:a>0,求证: - ≥a+ -2.
证明:要证 - ≥a+ -2,
只要证: +2≥a+ + ,
∵a>0,故只要证: +2 2≥ a+ + 2,
即a2+ +4 +4≥ a2+ +2+2 a+ +2,
只要证2 ≥ a+ ,
只要证4 a2+ ≥2 a 2+ +2 ,
即a2+ ≥2,上述不等式显然成立,故原不等式成立.
15.若正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
(1)a2+b2+c2≥ ;
(2) + + ≥ .
证明:(1)∵1=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤3(a2+b2+c2),
∴a2+b2+c2≥ .
(2)∵ + + (a+1+b+1+c+1)
=3+ + + + + +
≥9.
∴ + + ≥ = .