2013高三上册理科数学期末考试卷（附答案）

详细内容

东北育才学校2012-2013学年度上学期期末考试
高三年级数学试题（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设全集 ，集合 ,则 （ ）
A．{2,4}B．{2,4，6}C．{0，2,4}D．{0，2,4，6}
2．若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．±1B． C．0D．1
3．已知 为等比数列，若 ，则 （ ）
A．10B．20 C．60 D．100
4．设点 是线段BC的中点，点A在直线BC外， ,
,则 （ ）
A．2 B．4C．6 D．8
5．右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是（ ）
A．0 B．2C．4D．6
6．给出命题p：直线
互相平行的充要条件是 ；
命题q：若平面 内不共线的三点到平面 的距离相等，则 ∥ 。
对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）
A．命题“p且q”为真 B．命题“p或q”为假
C．命题“p且┓q”为假D．命题“p且┓q”为真
7．若关于 的不等式组 表示的区域为三角形，则实数 的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）B．（0,1）C．（-1,1）D．（1，+∞）

8．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法有（ ）
A．36种B．45种C．54种D．84种
9．设偶函数 的
部分图像如图所示， 为等腰直角三角形，
∠ =90°，| |=1，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点 ,动圆C与直线 切于点B，过 与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．函数 有且只有两个不同的零点，则b的值为（ ）
A． B． C． D．不确定
12．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球 的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（ ）
A．5B．10C．20D．30
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设二项式 的展开式中 的系数为A，常数项为B，若B=4A，则 。
14．已知函数 ，其中实数 随机选自区间[-2,1]，则对 ，都有 恒成立的概率是 。

15．若某几何体的三视图（单位：┩）如图所示，
则此几何体的体积等于 ┩³。
16．定义函数 ，其中 表示不超过 的
最大整数，当 时，设函数 的值域
为集合A，记A中的元素个数为 ，
则 的最小值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知角 的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若函数 ， 求函数 在区间 上的值域。
18．（本小题满分12分）
如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于
直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF= 。
（I）求证：AC⊥BF
（II）求二面角F-BD-A的大小

19．（本小题满分12分）
男女
9
9 8
8 6 5 0
7 4 2 1
115
16
17
18
197 7 8 9 9
1 2 4 5 8 9
2 3 4 5 6
0 1
第12届全运会将于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：┩），若身高在175┩以上（包括175┩）定义为“高个子”，身高在175┩以下（不包括175┩）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率？
（II）若从所有“高个子”中选出3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy上取两个定点 ，再取两个动点 且 =3．
（Ⅰ）求直线 与 交点的轨迹 的方程；
（II）已知 ，设直线 ： 与（I）中的轨迹 交于 、 两点，直线 、 的倾斜角分别为 ，且 ，求证：直线 过定点，并求该定点的坐标
21．（本小题满分12分）
函数 ．
（Ⅰ）当x>0时，求证： ；
（II）在区间（1，e）上 恒成立，求实数 的范围；
（Ⅲ）当 时，求证： … （ ）

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．略
23．（本小题满分10分）选修4－4坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）试分别将曲线Cl的极坐标方程 和曲线C2的参数方程 （t为参数）化为直角坐标方程和普通方程：
（II）若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线Cl和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离（视蚂蚁为点）．

2012―2013学年度上学期期末考试网 高三年级理科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D 10.A 11.C 12.B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：（Ⅰ）因为角 终边经过点 ，
所以 ， ， ………3分
………6分
(Ⅱ) ，
………9分
，
故函数 在区间 上的值域为 . ………12分
18.解：（Ⅰ）∵CD= ， ∴AC= ，满足
∴ ………2分
又 平面 ，故以CD为x轴，CA为y轴，以CE为z轴建立空间直角坐标系，
其中C(0，0，0)，D(1，0，0)，A(0， ，0)，F(0， ， )B(-1， ，0) ………4分
∴ ， ， ∴ ∴ ……6分
（Ⅱ）平面 的一个法向量 设平面 的一个法向量
且 ，
由 得 ………8分
∴ ，令 得 ， ………10分
∴ 故所求二面角F―BD―A的大小为aros ………12分
19.（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ，
所以选中的“高个子”有 人，“非高个 子”有 人． ………3分
用事件 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”被选中”，则 ．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是 ． …………6分
（Ⅱ）依题意， 的取值为 ．　　

， ， ， ． 因此， 的分布列如下：

20.解：（Ⅰ）依题意知直线 的方程为： ①
直线 的方程为： ②
设 是直线 与 交点，①×②得
由 　整理得 ………4分
∵ 不与原点重合　∴点 不在轨迹M上∴轨迹M的方程为 （ ） ………5分
（Ⅱ）由题意知，直线 的斜率存在且不为零，
联立方程 ，得 设 ，则
，且
由已知 ，得 ，
化简，得
代入，得 ∴ 整理得 ．
∴直线 的方程为y=k（x-4），因此直线 过定点，该定点的坐标为（4，0）.
21（Ⅰ）证明:设
则 ,则 ,即 在 处取到最小值, 则 ,即原结论成立. ………3分
（Ⅱ）解: 由 得 即 ,
另 , 另 ,
则 单调递增,所以
因为 ,所以 ,即 单调递增,则 的最大值为
所以 的取值范围为 . ………7分
（Ⅲ）证明: 由第一问得知 则
则

……12分
22.略
23解：（1）曲线 ┅┅┅2分
曲线 ，即 ┅┅┅┅5分
（2）因为
所以圆 与圆 内切
所以红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆 的直径 ┅┅10分
24、略