2013届高考数学简单的三角恒等变换复习课件及试题

详细内容

2013年高考数学总复习 4-5 简单的三角恒等变换但因为测试 新人教B版

1.(文)(2011•福建文，9)若α∈(0，π2)，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于(　　)
A.22　　　B.33　　　C.2　　　D.3
[答案]　D
[解析]　sin2α＋cos2α＝sin2α＋cos2α－sin2α
＝cos2α＝14，
∵α∈(0，π2)，∴cosα＝12，sinα＝32，
∴tanα＝3.
(理)(2011•陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为(　　)
A．2　　　　B.3　　　C．1　　　　D.33
[答案]　C
[解析]　由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.
2．(文)设5π2<θ<3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值为(　　)
A.105 B．－ 105
C．－ 155 D.155
[答案]　C
[解析]　∵5π2<θ<3π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－15.
∵5π4<θ2<3π2，∴sinθ2<0，
又cosθ＝1－2sin2θ2，∴sin2θ2＝1－cosθ2＝35，
∴sinθ2＝－155.
(理)已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为(　　)
A.1010 B．－1010
C.31010 D．－31010
[答案]　C
[解析]　设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，0<α2<π2，
∵2cos2α2－1＝cosα，∴sinβ＝sin(π2－α2)＝cosα2＝cosα＋12＝31010，故选C.
3．在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2•tanC2的值是(　　)
A．±3 B．－3
C.3 D.33
[答案]　C
[解析]　∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，A＋C＝2π3，
∴tanA2＋tanC2＋3tanA2•tanC2
＝tanA2＋C21－tanA2•tanC2＋3tanA2tanC2
＝3，故选C.
4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．既非等腰又非直角的三角形
[答案]　B
[解析]　∵sinAsinB＝cos2C2，
∴12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋cosC)，
∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，
∴co s(A－B)＝1，
∵－π∴△ABC为等腰三角形．
5．若cos(x＋y)cos(x－y )＝13，则cos2x－sin2y等于(　　)
A．－13 B.13
C．－23 D.23
[答案]　B
[解析]　∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cos xcosy－sinxsiny)•(cosxcosy＋sinxsiny)＝cos2xcos2y－sin2xsin2y＝cos2x(1－sin2y)－(1－cos2x)•sin2y＝cos2x－cos2xsin2y－sin2y＋cos2xsin2y＝cos2x－sin2 y，∴选B.
6．(2011•天津蓟县模拟)函数f(x)＝cos2x＋3sinxcosx在区间[－π4，π3]上的最大值为(　　)
A.12 B.1＋32
C．1 D.32
[答案]　D
[解析]　f(x)＝1＋cos2x2＋32sin2x
＝sin2x＋π6 ＋12
∵－π4≤x≤π3，∴－π3≤2x＋π6≤5π6，
∴－32≤sin2x＋π6 ≤1，
∴f(x)的最大值为32.
7．(2010•安徽省两校三地模拟)已知：sinα＋cosα＝15，0<α<π，则cosα2＝________.
[答案]　55
[解析]　由sinα＋cosα＝15sin2α＋cos2α＝10<α<π得，sinα＝45cosα＝－35，
∴cosα2＝1＋cosα2＝55.
8．(2010•江苏泰州模拟)已知sinα＝35，cosβ＝35，其中α，β∈(0，π2)，则α＋β＝________.
[答案]　π2
[解析]　∵α，β∈(0，π2)，sinα＝35，cosβ＝35，
∴cosα＝45，sinβ＝45，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×35－35×45＝0，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.
9．(2011•海南五校联考)设函数f(x)＝sinx＋cosx，f ′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f ′(x)，则sin2x－sin2xcos2x＝________.
[答案]　－59
[解析]　∵f(x)＝sinx＋cosx，
∴f ′(x)＝cosx－sinx，
由f(x)＝2f ′(x)得sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，
∴tanx＝13，
∴sin2x－sin2xcos2x＝sin2x－2sinxcosxcos2x
＝tan2x－2tanx＝(13)2－2×13＝－59.
10．(文)(2011•广东文，16)已知函数f(x)＝2sin(13x－π6)，x∈R.
(1)求f(0)的 值；
(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．
[解析]　(1)f(0)＝2sin(－π6)＝－2sinπ6＝－1.
(2)由题意知，α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，
即2sinα＝1013，2cosβ＝65，∴sinα＝513，cosα＝1213.
∴cosβ＝35，sinβ＝45，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×35＋1213×45＝6365.
(理)(2011•天津理，15)已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)，
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos2α，求α的大小．
[解析]　(1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z，所以f(x)的定义域为x∈Rx≠π8＋kπ2，k∈Z.
f(x)的最小正周期为π2.
(2)由fα2＝2cos2α，得
tanα＋π4＝2cos2α，sinα＋π4cosα＋π4＝2(cos2α－sin2α)，
整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
因为α∈0，π4，所以sinα＋cosα≠0.
因此(cosα－sinα)2＝12，即sin2α＝12.
由α∈0，π4，得2α∈0，π2.
所以2α＝π6，即α＝π12.

11.若a＝sin13°＋cos13°，b＝22cos214°－2，c＝62，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
[答案]　B
[解析]　a＝2sin58°，b＝2cos28°＝2sin62°，c＝62＝2sin60°，∵sin62°>sin60°>sin58°，∴b>c>a.
12．(2011•浙江杭州质检)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4等于(　　)
A．－255 B．－ 3510
C．－31010 D.255
[答案]　A
[解析]　由已知得tanα＋11－tanα＝12，解得tanα＝－13，
即sinαcosα＝－13，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－π2<α<0，可得sinα＝－1010，
所以2sin2α＋sin2αcosα－π4＝22sinαsinα＋cosαsinα＋cosα＝22sinα
＝22×(－1010)＝－255，故选A.
13．若0<α<β<π2，则下列不等式中不正确的是(　　)
A．sinα＋sinβ<α＋β B．α＋sinβC．α•sinα<β•sinβ D. β•sinα<α•sinβ
[答案]　D
[解析]　由已知得sinα<α，sinβ<β，00)，则f ′(x)＝1－cosx≥0，因此函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)π6•32＝α•sinβ，选项D不正确．
[点评]　作为选择题可用特殊值找出错误选项D即可．
14.(文)如图，AB 是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2θ2＝________.
[答案]　13
[解析]　设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝3r2，∴OD＝r2，∴CD＝32r，∴tanθ＝CDOD＝3，
∵tanθ＝2tanθ21－tan2θ2，∴tanθ2＝33(负值舍去)，
∴tan2θ2＝13.
(理)3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.
[答案]　－43
[解析]　3tan12°－34cos212°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12°
＝23sin12°－60°12sin48°＝－43.
15．(文)(2010•广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a•b.
(1)求函数f(x)的最 小正周期；
(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的最大值及最小值．
[解析]　(1)f(x)＝a•b＝(cosx＋sinx)•(cosx－sinx)＋sinx•2cosx
＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx
＝co s2x＋sin2x＝222cos2x＋22sin2x
＝2sin2x＋π4.
∴f(x)的最小正周期T＝π.
(2)∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，
∴当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)有最大值2；当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f(x)有最小值－1.
(理)设函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sinA的值．
[解析]　(1)f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12－32sin2x，
所以函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.
(2)f(C2)＝12－32sinC＝－14，所以sinC＝32，
因为C为锐角，所以C＝π3，
在△ABC中，cosB＝13，所以sinB＝223，
所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝223×12＋13×32＝22＋36.
16．(2010•山东理)已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0<φ<π)，其图象过点π6，12.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，π4]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)因为已知函数图象过点π6，12，所以有
12＝12sin2×π6sinφ＋cos2π6cosφ－12sinπ2＋φ
(0<φ<π)，
即有1＝32sinφ＋32cosφ－cosφ(0<φ<π)，
所以sinφ＋π6＝1，
所以φ＋π6＝π2，解得φ＝π3.
(2)由(1)知φ＝π3，所以f(x)＝12sin 2xsinπ3＋
cos2xcosπ3－12sinπ2＋π3(0<φ<π)
＝34sin2x＋12cos2x－14＝34sin2x＋12×1＋cos2x2－14＝12sin2x＋π6，
所以g(x)＝12sin4x＋π6，因为x∈0，π4，
所以4x＋π6∈π6，7π6，
所以当4x＋π6＝π2时，g(x)取最大值12；
当4x＋π6＝7π6时，g(x)取最小值－14.

1．已知tanα2＝3，则cosα＝(　　)
A.45 B．－ 45 C.415 D．－ 35
[答案]　B
[解析]　cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2
＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.
2．(2011•哈尔滨六中一模)sin235°－12sin20°的值为(　　)
A.12 B．－12
C．－1 D．1
[答案]　B
[解析]　sin235°－12sin20°＝2sin235°－12sin20°＝－cos70°2sin20°
＝－sin20°2sin20°＝－12，故选B.
3．已知acosα＋bsinα＝c，acosβ＋bsinβ＝c(ab≠0，α－β≠kπ，k∈Z)，则cos2α－β2＝(　　)
A.c2a2＋b2 B.a2c2＋b2
C.b2a2＋c2 D.ac2＋b2
[答案]　A
[解析]　

在平面直角坐标系中，设A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，点A(cosα，sinα)与点B(cosβ，sinβ)是直线l：ax＋by＝c与单位圆x2＋y2＝1 的两个交点，如图，从而|AB|2＝( cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l的距离d＝|c|a2＋b2，由平面几何知识知|OA|2－(12|AB|)2＝d2，即1－2－2cosα－β4＝c2a2＋b2，∴cos2 α－β2＝c2a2＋b2.
4．(2010•北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解析]　(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R
因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝23时，f(x)取最小值－73.