2013年高三文科一模数学试题（石景山附答案）

详细内容

北京市石景山区2013届高三统一测试
数学（文）试题
本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．
第Ⅰ卷 （选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合M= {x|x2≤4），N={x|log2 x≥1}，则M N等于（ ）
A． [-2，2] B．{2} C．[2，+ ） D． [-2,+ ）
2．若复数（a－i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（ ）
A． 1 B．-1 C． D．-
3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量 =（m，n）， =（3，6），则向量 与 共线的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（ ）
A．-3B．2
C． D．
5．设a∈R，则“a=l”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数y= 2sin（ ）（0≤x≤ ）的最大值与最小值之和为（ ）
A．0B．2
C．-1 D．-l
7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（ ）
A． B．
C．5 D．

8．若直角坐标平面内的两点p、Q满足条件：①p、Q都在函数y=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．
已知函数f（x）= ，则此函数的“友好点对”有（ ）对．
A． 0 B． 1 C．2 D． 3
第Ⅱ卷 （非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．函数f（x）=（x－a）（x+2）为偶函数，则实数a= 。
10．在△ABC中，若∠B= ，b= ，则∠C= 。
11．在等差数列{an}中，al=-2 013，其前n项和为Sn，若 =2，则 的值等于 。
12．设抛物线y2= 4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若∠AQB=90o，则直线l的方程为 。
13．如图，在矩形ABCD中，AB= BC =2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 • = ，则 • 的值是____ ．
14．观察下列算式：
l3 =1,
23 =3+5,
33 = 7+9+11,
43 =1 3 +15 +17 +19 ，
… … … …
若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数f（x）=sin（2x+ ）+cos 2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间。
（Ⅱ）在△ABC中，内角A 、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）= ，a=2，B= ，求△ABC的面积．

16．（本小题满分13分）
PM2．5 指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）计算这10天PM2．5数据的平均值并判断其是否超标：
（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率 ：
（III）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．

17．（本小题满分14分）
如图，在 底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，PD⊥平面ABCD，AD =1，AB= ，BC =4。
（I）求证：BD⊥PC；
（II）设AC与BD相交于点D，在棱PC上是否存在点E，使得OE∥平面PAB? 若存在，确定点E位置。

18．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=ax－1－1n x，a R．
（I）讨论函数f（x）的单调区间：
（II）若函数f（x）在x=l处 取得极值，对 x∈（0，+ ），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．

19．（本小题满分13分）
设椭圆C： =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为 ， 左焦点F1到直线 ： 的距离等于长半轴长．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N 两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围。

20．（本小题满分13分）
给定有限单调递增数列{xn}（n∈N*，n≥2）且xi≠0（1≤ i ≤n），定义集合A={（xi，xj）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具 有性质P。
（I）判断数列{xn}：-2，2和数列{yn}：-2，-l ，1，3是否具有性质P，简述理由。
（II）若数列{xn}具有性质P ，求证：
①数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj =0：
②若x1=-1, xn>0且xn>1，则x2=l。