2012年安徽高考数学试题及答案解析（理）

详细内容

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（ 理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写 姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘 出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：
如果事件 与 互斥；则
如果事 件 与 相互独立；则
如果 与 是事件，且 ；则
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
（1）复数 满足： ；则 （ ）

【解析】选

（2）下列函数中，不满足： 的是（ ）

【解析】选
与 均满足： 得： 满足条件
（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

【解析】选

4.公比为 等比数列 的各项都是正 数，且 ，则（ ）

【解析】选

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】选
甲的成绩的方差为 ，乙的成绩的方差为

（6）设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在 平面 内，且
则“ ”是“ ”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 即不充分不必要条件
【解析】选
① ②如果 ；则 与 条件相同
（7） 的展开式的常数项是（ ）

【解析】选
第一个因式取 ，第二个因式取 得：
第一个因式取 ，第二个因式取 得： 展开式的常数项是
（8）在平面直角坐标系中， ，将向量 按逆时针旋转 后，得向量
则点 的坐标是（ ）

【解析】选
【方法一】设
则
【方法二】将向量 按逆时针旋转 后得
则
（9）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是原点，若 ；
则 的面积为（ ）

【解析】选
设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
的面积为
（10）6位同学 在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换
的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到 份纪念品
的同学人数为（ ）
或 或 或 或
【解析】选

①设仅有甲与乙，丙没 交换纪念品，则收到 份纪念品的同学人数为 人
②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到 份纪念品的同学人数为 人
第II卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水 签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
（11）若 满足约束条件： ；则 的取值范围为
【解析】 的取值范围为
约束条件对应 边际及内的区域：
则
（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是
【解析】表面积是
该几何体是底面是直角梯形，高为 的直四棱柱
几何体的表面积是
（13）在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是
【解析】距离是
圆 的圆心
直线 ；点 到直线 的距离是
（14）若平面向量 满足： ；则 的最小值是
【解析】 的最小值是

（15）设 的内角 所对的边为 ；则下列命题正确的是
①若 ；则 ②若 ；则
③若 ；则 ④若 ；则
⑤若 ；则
【解析】正确的是 ①②③
①
②
③当 时， 与 矛盾
④取 满 足 得：
⑤取 满足 得：

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
（16）(本小题满分12分)
设函数
（I）求函数 的最小正周期；
（II）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ；
求函数 在 上的解析式。
【解析】

（I）函数 的最小正周期
（2）当 时，
当 时，
当 时，
得：函数 在 上的解析式为
（17）（本小题满分12分）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道 类试题和一道 类型试题入库 ，此次调题工作结束；若调用的是 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有 道
试题，其中有 道 类型试题和 道 类型试题，以 表示两次调题工作完成后，试题库中 类试题的数量。
（Ⅰ）求 的概率；
（Ⅱ）设 ，求 的分布列和均值（数学期望）。
【解析】（I） 表示两次调题均为 类型试题，概率为
（Ⅱ） 时，每次调用的是 类型试题的概率为
随机变量 可取

答：（Ⅰ） 的概率为
（Ⅱ）求 的均值为
（18）（本小题满分12分）
平面图形 如图4所示，其中 是矩形， ， ，
。现将该平面图形分别沿 和 折叠，使 与 所在平面都
与平面 垂直，再分别连接 ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答
下列问题。
。
（Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求 的长；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值。
【解析】（I）取 的中点为点 ，连接
则 ，面 面 面
同理： 面 得： 共面
又 面
（Ⅱ）延长 到 ，使 得：
，面 面 面 面

（Ⅲ） 是二面角 的平面角
在 中，
在 中，
得：二面角 的余弦值为 。
（19）（本小题满分1 3分）K]
设
（I）求 在 上的最小值；
（II）设曲线 在点 的切线方程为 ；求 的值。
【解析】（I）设 ；则
①当 时， 在 上是增函数
得：当 时， 的最小值为
②当 时，
当且仅当 时， 的最小值为
（II）
由题意得：
（20）（本小题满分13分）
如图， 分别是椭圆
的左，右焦点，过点 作 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 ，
过点 作直线 的垂线交直线 于点 ；
（I）若点 的坐标为 ；求椭圆 的方程；
（II）证明：直线 与椭圆 只有一个交点。
【解析】（I）点 代入 得：
①
又 ② ③
由①②③得： 既椭圆 的方程为
（II）设 ；则
得：
过点 与椭圆 相切的直线斜率
得：直线 与椭圆 只有一个交点。
（21）（本小题满分13分）
数列 满足：
（I）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是
（II）求 的取值范围，使数列 是单调递增数列。
【解析】（I）必要条件
当 时， 数列 是单调递减数列
充分条件
数列 是单调递减数列
得：数列 是单调递减数列的充分必要条件是
（II）由（I）得：
①当 时， ，不合题意
②当 时，


当 时， 与 同号，
由

当 时，存在 ，使 与 异号
与数列 是单调递减数列矛盾
得：当 时，数列 是单调递增数列