2013年高三数学理科一模试题(含答案)

详细内容

2013年高三教学测试（一）
理科数学试题卷
注意事项：
1.本科考试分试铨卷和答铨卷，考生须在答铨卷上作答.答题前，请在答铨卷的密 封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试铨卷分为第1卷（选择铨）和第π卷（非选择铨）两部分，共6页，全卷满 分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件 ， 互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件 ， 相互独立，那么 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中 分别表示棱台的上底、下底面积，
其中 表示球的半径 表示棱台的高

第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1.若i为虚数单位，则复数 =
A. iB. -iC. D.-
2.函数 的最小正周期是
A. B. πC. 2πD. 4π
3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A. OB. -1
C. D.
4.已知α,β是空间中两个不同平面，m , n是空间中两条不 同直线，则下列命题中错误的是
A.若m//n m ?α, 则n ?α
B.若m//α α β, 则m//n
C.若m?α , m ?β， 则α//β
D.若m?α, m β 则 α ?β
5.已知函数 下列命题正确的是
A.若 是增函数， 是减函数，则 存在最大值
B.若 存在最大值，则 是增函数， 是减函数
C.若 , 均为减函数，则 是减函数
D.若 是减函数，则 , 均为减函数
6.已知a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0” 是“ ”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知双曲线c: ,以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N (异于原点O),若|MN|= ,则双曲线C的离心率 是
A. B. C. 2D.
8.已知 ，则下列命题正确的是
A.若 则. B.若 ，则
C.若 ，则 D若 ，则
9.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1)组成的 正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶 点构成的正三角形的个数是
A. 13B. 14C. 15D. 17
10.已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A = {x丨f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若 且存在x0∈B，x0∈A则实数b的取值范围是
A B b<0或
C D
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.已知奇函数f(x),当x>0时，f(x)= log2(x+ 3), 则f(-1)=__▲__
12.已知实数x,y满足 则z = 2x+y的最小值是__▲__
13.―个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__▲__

14.设(x-2)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+…+a6 的值为__▲__
15.一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放 回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数X的均值E(X) =__▲__.
16.若 是两个非零向量，且 ，则 与 的夹角的 取值范围是__▲__.
17.己知抛物线y2=4x的焦点为F,若点A, B是该抛物线上的点， ，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N,则 的最大值为__▲__.
三、解答题:本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步笈•
18.(本题满分14分）
在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且a= c + bcosC .
(I )求角B的大小
(II)若 ，求b的最小值.

19.(本题满分14分）
已知等差数列{an}的公差不为零，且a3 =5, a1 , a2.a5 成等比数列
(I)求数列{an}的通项公式：
(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn与 的大小

20.(本题满分15分）
如图，直角梯形ABCD中，AB//CD， = 90° , BC = CD = ,AD = BD：EC?底面ABCD, FD?底面ABCD 且有EC=FD=2.
(I )求证：AD?BF :
(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-C的余弦值.

21 (本题满分15分）
已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2, O为原点.
(I)如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2?MF1,求点M 到y轴的距离；
(II)如图②，直线l: ：y=k + m与椭圆C上相交于P,G两点，若在椭圆C上存 在点R,使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围.

22.(本题满分14分）
已知函数
(I )求f(x)的单调区间；
(II)对任意的 ，恒有 ，求正实数 的取值范围.

三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分）
18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得： ， …2分
又因为 ，所以 ， …4分
可得 ， …6分
即 .所以 …7分
（Ⅱ） 因为 ，所以 ，所以 …10分
由余弦定理可知： …12分
所以 ，即 ，所以 的最小值为2．　　　　　　　　…14分

19．解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为 ，
由题 ， ， …3分
解得： . …4分
. …5分
（Ⅱ） 　　 ①

20．解：（Ⅰ）证明：∵ ，且
∴ 且 ； …1分
又由 ，可知
∵ ，∴ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，即 ； …3分
∵ 底面ABCD于D， 平面ABCD，∴ ， …4分
∴ 平面DBF.又∵ 平面DBF，∴可得 . …6分
（Ⅱ）解：如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系.
可得 ， …8分
又∵ N恰好为BF的中点，∴ . …9分
设 ，∴ .
又∵ ，∴可得 .
故M为线段CE的中点. …11分
设平面BMF的一个法向量为 ，
且 ，
，由 可得 ，
取 得 . …13分
又∵平面MFC的一个法向量为 ， …14分
∴ .
故所求二面角B-MF-C的余弦值为 . …15分
21．解（Ⅰ） ， …1分
设 ，则 的中点为 ， …2分
∵ ，∴ ，即 ， …3分
∴ （1） …4分
又有 ， （2）
由（1）、（2）解得 （ 舍去） …5分
所以点M 到y轴的距离为 . …6分
（Ⅱ）设 ， ，
∵OPRQ为平行四边形，∴ ， ． …8分
∵R点在椭圆上，∴ ，
即 ， …9分
化简得， ．…（1） …10分
由 得 ．
由 ，得 …（2）， …11分
且 ． …12分
代入（1）式，得 ，
化简得 ，代入（2）式，得 ． …14分
又 ，　∴ 或 ． …15分

22．解：（Ⅰ） = （ ）
令 ， …1分
① 时， ，所以 增区间是 ；
② 时， ，所以 增区间是 与 ，减区间是
③ 时， ，所以 增区间是 与 ，减区间是
④ 时， ，所以 增区间是 ，减区间是 …5分
（Ⅰ）因为 ，所以 ，由（1）知 在 上为减函数. …6分
若 ，则原不等式恒成立，∴ …7分
若 ，不妨设 ，则 ， ，
所以原不等式即为： ，即 对任意的 ， 恒成立
令 ，所以对任意的 ， 有 恒成立，所以 在闭区间 上为增函数 …9分
所以 对任意的 ， 恒成立