函数性质的综合应用一轮复习专练
详细内容
函数性质的综合应用一轮复习专练
课时训练 练 题感 提知能
【选题明细表】
知识点、方法题号
函 数单调性的应用1、2
函数奇偶性的应用7、8
函数奇偶性与单调性综合应用3、5、11
函数奇偶性与周期性综合应用4、6、9、13
函数性质的综合应用10、12
一、选择题
1.(2013浙江嘉兴模拟)f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上递增,则a的取值范围为( D )
(A)(0,+∞)(B)(-∞,0)
(C)(0,1] (D)(-∞,1]
解析:当a≤0时,f(x)在区间[1,+∞)上递增;当a>0时,f(x)的增区间为[ ,+∞),只要 ≤1,得a≤1.综上a的取值范围为(-∞,1],
故选D.
2.给定函数①y= ,②y=lo (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( B )
(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④
解析:显然幂函数y= 及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y =lo (x+1)可看作是y=lo u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=lo (x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减.故选B.
3.已知周期为2的偶函数f(x)在区间[0,1]上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是( B )
(A)f(-6.5)
(A)10(B) (C)-10(D)-
解析:由于f(x+3)=- ,
所以f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期等于6,
又因为函数f(x)是偶函数,
于是f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=f(3+2.5)
=- =-
=- = ,
故选B.
5.(2013陕西咸阳一模)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
解析:由题意知f(x)在(-∞,0)上为单调减函数,不等式f(2x-1)
故选A.
6.(2013山东济南市质检)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(2013)等于( A )
(A)0(B)2013(C)3(D)-2013
解析:函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,可知函数y=f(x)的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)是偶函数.在等式f(x+6)=f(x)+f(3)中,令x=-3得f(3)=f(-3)+f(3),得f(-3)=f(3)=0,故f( x+6)=f(x),6是函数y=f(x)的一个周期,f(2013)=f(3)=0.故选A.
二、填空题
7.(2013吉林二模)已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,f(x)=-xlg(3-x),则f(1)= .
解析:f(1)=-f(-1)=-[-(-1)lg(3+1)]=-lg 4.
答案:-lg 4
8.已知f(x)=asin x+bx+c(a,b,c∈R),若f(0)=-2,f( )=1,则f(- )= .
解析:由题设f(0)=c=- 2,f( )=a+ b-2=1,
所以f(- )=-a- b-2=-5.
答案:-5
9.已知f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)= .
解析:由f(x+4)=f(x),知f(x)是周期为4的周期函数,又f(x)为R上的奇函数,
则f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1)=-2.
答案:-2
10.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+ )=-f(x),且函数y=f(x- )为奇函数,给出以下四个命题:
(1)函数f(x)是周期函数;
(2)函数f(x)的图象关于点(- ,0)对称;
(3)函数f(x)为R上的偶函数;
(4) 函数f(x)为R上的单调函数.
其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
解析:由f(x+ )=-f(x)可得f(x)=f(x+3)⇒f(x)为周期函数,且T=3,(1)为真命题;又y=f(x- )关于(0,0)对称,y=f(x- )向左平移 个单位得y=f(x)的图象,则y=f(x)的图象关于点(- ,0)对称,(2)为真命题;又y=f(x- )为奇函数,所以 f(x- )=-f(-x- ),f（x- - ）=-f（ -x- ）=-f(-x),
∴f（x- ）=-f(-x),
f(x)=f(x-3)=-f（x- ）=f(-x);
∴f(x)为偶函数,不可能 为R上的单调函数,(3)为真命题;(4)为假命题,故真命题为(1)(2)(3).
答案:(1)(2)(3)
三、解答题
11.已知函数f(x)=
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的 取值范围.
解:(1)当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2•(-x)=-x2-2x,
又f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=x2+2x,x<0,
∴m=2.
(2)画出f(x)的大致图象如图所示.
要使函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,由图象可以看出,
-1
(1)求证:函数f(x)为偶函数;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集.
(1)证明:由f(2)=f(1×2)=f(1)+f(2)得f(1)=0.
由f(1)=f(-1×(-1))=f(-1)+f(-1)
=2f(-1)=0,
得f(-1)=0,
∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)解:任取x1、x2∈(0,+∞)且x1
得f（ ）>0,
∴f(x2)=f（x1• ）=f(x1)+f（ ）,
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∵f(x)是偶函数,
∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:由f(x•y)=f(x)+f(y)得
f(x)+f(x-3)=f(x(x-3)),
又f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,
∴原不等式转化为f(x(x-3))≤f(4),
∵f(x)是偶函数,
∴|x(x-3)|≤4.
解得-1≤x≤4且x≠0,
∴不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集为[-1,0)∪(0,4].
13.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围图形的面积 .
解:(1)由f(x+2)=-f(x),
得f(x+4)=f [(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,从而得
f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)
=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)
=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,
f(x)=x,
且f(x)的图象关于原点成中心对称,
则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,
设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,
则S=4S△OAB=4× =4.