2015高考理科数学不等式、推理与证明总复习题(含答案)

详细内容

[A组　基础演练•能力提升]
一、选择题
1． 若ab<0，则有(　　)
A.ba＋ab≤－2　　　　　B.ba＋ab>－2
C.ba＋ab≥1 D.ba＋ab≤－1
解析：由题可知，ba＋ab≥2，且ba<0，ab<0，故选A.
答案：AX|k |B| 1 . c|O |m
2．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则(　　)
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：由x＋y＋z＝0知x、y、z中至少有一个小于零有一个大于零，又x>y> z，所以z<0，x>0，结合选项可知选C.
答案：C
3．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出1a<1b成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：1a<1b成立，即b－aab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．
答案：C
4．设a，b为正实数，则“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵a>0，b>0，a∴1a>1b，由不等式的性质a－1a∴由a当a－1a即(a－b)1＋1ab<0.又∵a>0，b>0，∴a－b<0.
∴a∴“a答案：C
5．已知0A．M>N B．MC．M＝N D．不能确定
解析：∵00,1＋b>0，
1－ab>0.
∴M－N＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝2－2ab1＋a1＋b>0.
答案：A
6．(2014年朔州模拟)已知a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解析：由－1∴ab>ab2>a.
答案：D
二、填空题
7．若a1解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，∵a10，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答 案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．已知x，y，z均为正数，则xyz＋yzx＋zxy________1x＋1y＋1z.(填>，<，≥，≤)
解析：因为x，y，z均为正数，所以xyz＋yzx＝1zxy＋yx≥2z，同理可得yzx＋zxy≥2x，zxy＋xyz≥2y，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.
答案：≥
9．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．

解析：图(1)所示广告牌的面积为12(a2＋b2)，图(2)所示广告牌的面积为ab，显然不等式表示为12(a2＋b2)>ab(a≠b)．
答案：12(a2＋b2)>ab(a≠b)
三、解答题
10．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c2＞eb－d2.
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
∴0＜1a－c2＜1b－d2.
又∵e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.
11．设x解析：解法一　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
∵x0，x－y<0，
∴－2xy(x－y)>0，
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
解法二　∵xy2，x＋y <0.
∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0，
∴0<x2＋y2x－yx2－y2x＋y＝x2＋y2x2＋y2＋2xy<1，
∴(x2＋y2)(x－y )>(x2－y2)(x＋y)．
12．(能力提升)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的 关系．
解析：由α＋β>0，得α>－β.
∵f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)又∵f(x )为奇函数，∴f(－β)＝－f(β)，
∴f(α)<－f(β)，∴f(α)＋f(β)<0，
同理f(β)＋f(γ)<0，f(γ)＋f(α)<0，
∴f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.
[B组　因材施教•备选练习]
1．若0<α<π，则sin 2α与2sin α的大小关系是(　　)
A．sin 2α>2sin α B．sin 2α<2sin α
C．sin 2α＝2sin α D．无法确定
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α，0<α<π，∴sin 2α<2sin α.
答案：B
2．(2014年郑州模拟)已知a>b≥2.现有下列不等式：①b2>3b－a；②1＋4ab>21a＋1b；③ab>a＋b；④loga3>logb3.其中正确的是(　　)
A．②④ B．①②xK b1.
C．③④ D．①③
解析：依题意得，对于①，b2＋a>2b＋b＝3b，即有b2>3b－a，因此①正确；对于②，取a＝4，b＝2，此时1＋4ab＝32，21a＋1b＝32，1＋4ab＝21a＋1b，因此②不正确；对于③，ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1>1×1－1＝0，因此有ab>a＋b，③正确；对于④，取a＝9>b＝3，此时loga3＝12答案：D
3．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．
解析：∵－π2<α<β<π2，
∴－π<2α<π，－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2，
又∵2α－β＝α＋(α－β)<α<π2，
∴－3π2<2α－β<π2.
答案：－3π2，π2