直线、平面垂直的判定与性质同步训练（带解析2015高考数学一轮）

详细内容

直线、平面垂直的判定与性质同步训练（带解析2015高考数学一轮）

A组　基础演练
1．(2014•杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是
(　　)
A．a⊥c，b⊥c　　　　　　　B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
C．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α
解析：对于选项C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.
答案：C
2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.
其中正确的命题是
(　　)
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．
答案：D
3．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于
(　　)
A．A′C′ B．BD
C．A′D′ D．AA′
解析：连接B′D′，
∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥′，且A′C′∩′＝C′，
∴B′D′⊥平面′E.
而CE⊂平面′E.
∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.
答案：B
4．(2014•济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在
(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
答案：A
5．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；
③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
答案：②④
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
7．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；
③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案：①②③

8. (2013•江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.
(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；
(2)求点B1到平面EA1C1的距离．
解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.
在Rt△BEF中，BE＝3.
在Rt△CFB中，BC＝6.
在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，
所以BE⊥平面BB1C1C.

(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝13AA1•S△A1B1C1＝2.
在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D21＋D1C21＝32.
同理，EC1＝EC2＋21＝32，
A1E＝A1A2＋AD2＋DE2＝23.
故S△A1C1E＝35.
设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积
V＝13•d•S△A1C1E＝5d，
从而5d＝2，d＝105.

9．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证明：(1)AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，
∴AD⊥侧面BB1C1C，∴AD⊥1.
(2)如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴MA1?12BB1，
∴NA1＝A1B1.
∵A1B1＝A1C1，
∴A1C1＝A1N＝A1B1，
∴NC1⊥C1B1.
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C，
∵截面C1NB⊥侧面BB1C1C，
即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
B组　能力突破
1．如图，在三棱锥D―ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是
(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
答案：C
2．(2014•曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是
(　　)
A．①② B．①②③
C．① D．②③
解析：对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；
对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.
∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；
对于③，由①知BC⊥平面PAC，
∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
答案：B
3．(2014•东北三校联考)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．

解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，
∵平面ABD⊥平面ABCF，DK⊥AB，
∴DK⊥平面ABCF，∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.
容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点，
∴t的取值范围是12，1.
答案：12，1
4．(理科)(2014•无锡模拟)如图，四棱锥P―ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)由(1)知，AO⊥面PDB.
∴∠AEO为AE与面PDB所成的角．
又∵OE＝12PD＝22AB，OA＝22AB，
∴在Rt△AOE中，AO＝OE.
∴∠AEO＝45°.
故AE与面PDB所成的角为45°.
4．(文科)如图，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
解：(1)证明：连接A1B，则AB1⊥A1B.
又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1.
∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.
(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，
∴∠ABG＝∠DAE.
∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，
∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.
(3)存在，取1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，
∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.
又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
∴BF⊥平面AEP.