2014宁波市高一数学下学期期末试卷（含答案）

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2014宁波市高一数学下学期期末试卷（含答案）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 、 、 ， ，则下列不等式一定成立的是

2.数列 ： 、3、 、9、…的一个通项公式是
( ) ( )
( ) ( )
3.设 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题不正确的是
若 ， ，则 若 ， ∥ ，则
若 ， ，则 ∥ 若 ∥ , ∥ ,则 ∥
4.等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
12 16
5.在 中，角 所对的边分别为 ，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是
， ， ， ，
， ， ， ，
6. 已知数列 满足 ， ，则
2
7.当 时，关于 的不等式 的解集是

8.已知函数 的图象的一个对称中心是点 ，则函数 ＝ 的图象的一条对称轴是直线

9.若不等式 对任意的 上恒成立，则 的取值范围是

10.如图，三棱柱 的各棱长均为2，侧棱 与底面 所成的角为 ， 为锐角，且侧面 ⊥底面 ，给出下列四个结论：
① ；
② ；
③直线 与平面 所成的角为 ；
④ .
其中正确的结论是
①③ ②④ ①③④ ①②③④

二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.
把答案填在答题卷的相应位置
11.求值： ___________.
12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为 ，那么它的表面积为___________.
13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，
则该几何体的体积为___________.
14.正数 、 满足 ，那么 的最小值等于
___________.
15.已知数列 是首项为3，公差为1的等差数列，数列
是首项为 ，公比也为 的等比数列，其中 ，那么数
列 的前 项和 ________.
16.在 中，角 所对的边分别为 ，若 成等差数列，则角
的取值范围是__________(角用弧度表示).
17.在数列 中， ， ， （ ），把数列的各项按如下方法进行分组：( )、( )、( )、……，记 为第 组的第 个数（从前到后），若 = ，则 ____________.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.（本题满分14分）
(Ⅰ)已知 ， ，求 的值；
(Ⅱ)已知 ， ， ，求 的值.

19.（本题满分14分）
在 中， 分别是角 所对的边，且 .
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)若 ，求 的周长 的取值范围.

20．（本题满分14分）
某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数 与时刻 （时）的关系为 ， ，其中 是与气象有关的参数，且 ，用每天 的最大值作为当天的污染指数，记作 .
(Ⅰ)令 ， ，求 的取值范围；
(Ⅱ)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？

21.（本题满分15分）
如图，已知四棱锥 的底面为菱形， 面 ，且 ， , 分别是 的中点.
(Ⅰ)求证： ∥平面 ；
(Ⅱ)过 作一平面交棱 于点 ，若二面角 的大小为 ，求 的值.

22.（本题满分15分）
设数列 的首项 ，前 项和为 ，且 、 、 成等差数列，其中 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)数列 满足： ，记数列 的前 项和为 ,求 及数列 的最大项.

宁波市 八校联考高一数学参考答案

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.（本题满分14分）
因为 ， ，所以 ， , ……5分
. ………………………………………………7分
（Ⅱ）因为 且 ，所以 ， ……………………………9分
因为 ，所以 ，
又 ,所以 ，所以 ，……11分
所以 .……………………………14分

因为 ，所以 ， ，
，所以 ，即 . ………14分
法2：由余弦定理得， ， …………9分
而 ，故 ，………………11分
所以 ， …………………………………………………………………12分
又 ， ……………………………………………………………………13分
所以 ，即 . ………………………………14分

20.（本题满分14分）
(Ⅰ)(1)当 时， ；………………………………………………………………1分
在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最大值只可能在 或

21.（本题满分15分）
(Ⅰ)取 的中点 ,连结 、 ,
因为 是 的中点，所以 ∥ ,且
，又 是菱形 边
的中点，所以 ∥ ,且 ，
所以 ∥ ,且 ，四边形
是平行四边形，所以 ∥ ,
……………………………………………5分
而 平面 , 平面 ，……………………………………………6分
所以 ∥平面 .…………………………………………………………………7分

(Ⅱ)连结 交 于 ，连结 ，因为 面 ，所以 ，即
，又 ，且 ,所以 平面 ，…………10分
从而 , ,所以 就是二面角 的平面角， ，………………………………………………………………………12分
设 ,因为 ， ，所以 , , ,
,所以 ,在 中, ，…14分
所以 ……………………………………………………………15分

22.（本题满分15分）
(Ⅰ) 由 、 、 成等差数列知， ，………………………1分
当 时， ，
所以 ， ……………………………………4分
当 时，由 得 ， ……………………………………5分
综上知，对任何 ,都有 ,又 ，所以 ， .…6分
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 . ……………7分
(Ⅱ) ……10分
，……………………………12分
，
当 时， ，即 ；当 时，也有 ，但 ；当 时， ， ，即 .
所以数列 的的最大项是 . ……………………………………………15分