2014高一数学必修一第一章集合章末知识练习题（苏教版有答案）

详细内容

数学•必修1(苏教版)

一、元素与集合的关系

　已知A＝{x|x＝m＋n•2，m，n∈Z}．

(1)设x1＝13－22，x2＝9－42，x3＝(1－32)2，试判断x1，x2，x3与A之间的关系；
(2)任取x1，x2∈A，试判断x1＋x2，x1•x2与A之间的关系；

(3)能否找到x0∈A，使1x0∈A，且|x0|≠1?
分析：分清楚集合A中元素具备什么形式．

解析：(1)由于x1＝13－22＝3＋22，则x1∈A，
由于x2＝9－42＝1－222＝－1＋22，
则x2∈A，由于x3＝(1－32)2＝19－62，
则x3∈A.
(2)由于x1，x2∈A，
设x1＝m1＋n12，x2＝m2＋n2•2(其中m1，n1，m2，n2∈Z)．
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)2，
其中m1＋m2，n1＋n2∈Z，则x1＋x2∈A.
由于x1x2＝(m1＋n12)(m2＋n22)
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m1n2＋m2n1)•2，
其中m1m2＋2n1n2，m1n2＋m2n1∈Z，则x1x2∈A.
(3)假设能找到x0＝m0＋n02∈A(其中m0，n0∈Z)符合题意，则：
1x0＝1m0＋n0•2＝m0m20－2n20＋－n0m20－2n20•2∈A，
则m0m20－2n20∈Z，－n0m20－2n20∈Z .
于是，可取m0＝n0＝1，则能找到x0＝－1＋2，又能满足|x0|≠1，符合题意．
点评：解决是否存在的问题主要采用假设法：假设存在某数使结论成立，以此为基础进行推理．若出现矛盾，则否定假设，得出相反的结论；若推出合理的结果，则说明假设正确．这种方法可概括为“假设―推理―否定(肯定)假设―得出结论”．

►变式训练
1．设集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，C＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，任取x1∈B，x2∈C，则x1＋x2∈________，x1x2∈________，x1－x2∈________，x2－x1∈________.
(注：从A，B，C中选一个填空)

解析：设x1＝3m＋1，x2＝3n＋2，m，n∈Z，则x1＋x2＝3(m＋n＋1)∈A；x1x2＝9mn＋6m＋3n＋2＝3(3mn＋2m＋n)＋2∈C；x1－x2＝3m－3n－1＝3(m－n－1)＋2∈C；x2－x1＝3n－3m＋1＝3(n－m)＋1∈B.
答案：A　C　C　B

2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来．

解析：(1)A＝∅，则方程ax2－3x＋2＝0无实根，
即Δ＝9－8a<0，∴a>98.
∴a的取值范围是aa＞98.
(2)∵A中只有一个元素，
∴①a＝0时，A＝23满足要求．
②a≠0时，
则方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实根．
故Δ＝9－8a＝0，
∴a＝98，此时A＝43满足要求．
综上可知：a＝0或a＝98.

二、集合与集合的关系

　A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，当B⊆A时，求实数p的取值范围．

分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．
解析：由已知解得，B＝xx<－p4.
又∵A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B⊆A，利用数轴．
∴－p4≤－1.
∴p≥4，即实数p的取值范围为{p|p≥4}．
点评：在解决两个数集包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．

三、集合的综合运算

　已知集合A＝{(x，y)|x2－y2－y＝4}，B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}，C＝{(x，y)|x－2y＝0}，D＝{(x，y)|x＋y＝0}．

(1)判断B、C、D间的关系；

(2)求A∩B.

分析：对集合B进行分解因式，读懂集合语言．
解析：(1)∵x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)，
∴B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}
＝{(x，y)|(x＋y)(x－2y)＝0}
＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0}
＝{(x，y)|x－2y＝0}∪{(x，y)|x＋y＝0}＝C∪D.
(2)A∩B＝x，yx2－y2－y＝4，x2－xy－2y2＝0
＝x，yx2－y2－y＝4，x－2yx＋y＝0
＝x，yx2－y2－y＝4，x＋y＝0
或x，yx2－y2－y＝4，x－2y＝0.
＝83，43，－2，－1，4，－4.

　设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合∁A(A∩B)＝________.

分析：首先简化集合A和B，再借助数轴求解．
解析：∵A＝{x|－43}，
∴A∩B＝{x|－4∴∁A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
点评：解集合问题，重要的是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识解决．