高一数学下册函数的单调性的应用过关检测试题及答案
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训练13 函数的单调性的应用
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1.已知函数y=ax2+bx+c(a<0)图象的对称轴为直线x=3,则下列关系式中,不正确的是( )
A.f(6)
解析：依题意,函数y=ax2+bx+c在(-∞,3)内递增,在［3,+∞］内递减,故f(0)=f(6)>f(7).
2.设f(x)为定义在A上的减函数,且f(x)>0,则下列函数:(1)y=3-2 004f(x);(2)y=1+ ;
(3)y=f2(x);④y=2 005+f(x).其中为增函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解法一:令f(x)= (x>0),则(1)y=3-2 004f(x)=3- ;(2)y=1+ =1+1 002x;
(3)y=f2(x)= ;(4)y=2 005+ 在(0,+∞)上为增函数的是(1)(2),故正确命题的个数为2.
解法二:利用单调函数的定义判断.
3.函数f(x)在定义域上单调递减，且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是( )
A.(-3,+∞) B.(-3,1) C.(-∞,1) D.(-∞,+∞)
答案：B
解析：|f(x)|<2 -2
(1)函数在(-∞,1］上单调递减
(2)函数的单调递减区间为(-∞,1］ (3)函数在［3,4］上单调递增 (4)函数的单调递增区间为［3,4］
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：由图形知(1)(3)正确;函数的单调递增区间为［3,+∞),递减区间为(-∞,3],故(2)(3)错误.
5.若函数f(x)=ax2+2x+5在(2,+∞)上是单调递减的,则a的取值范围是______________.
答案：a≤-
解析：若a=0,则f(x)=2x+5,与已知矛盾,∴a≠0.
这时,f(x)=ax2+2x+5=a(x+ )2+5- ,对称轴为x=- ,由题设知 ,解得a≤- .
6.已知f(x)在R上满足f(-x)+f(x)=0,且在［0,+∞］上为增函数,若f( )=1,则-1
解析：由f(-x)+f(x)=0 f(0)=0,
f(- )=-1,故由-1
解：2=f(2)+f(2),而f( )=f(x)-f(y)可以变形为f(y)+f( )=f(x).
令y=2, =2,即x=2y=4,
则有f(2)+f(2)=f(4),∴2=f(4).
∴f(x)-f( )≤2可以变形为f［x(x-3)］≤f(4).
又∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
∴ 解得3
8.函数y=-|x-1|(x+5)的单调增区间为( )
A.(-∞,-2] B.［-2,+∞) C.［-2,1) D.［1,+∞)
答案：C
解析：y=-|x-1|(x+5)= 由图形易知选C.
9.已知函数f(x)在定义域［a,b］上是单调函数,函数值域为［-3,5］,则以下说法正确的是( )
A.若f(a)f(b)<0,则存在x1∈［a,b］,使f(x1)=0
B.f(x)在区间［a,b］上有最大值f(b)=5
C.f(x)在区间［a,b］上有最小值f(a)=-3
D.f(x)在区间［a,b］上有最大值不是f(b),最小值也不是f(a)
答案：A
解析：若函数单调递增,则排除D,若函数单调递减,则排除B、C,由此知选A.
10.y=f(x)在［0,+∞］上为减函数,则f(π)、f(3)、f(4)?的大小关系为_______________.
答案：f(3)>f(π)>f(4)
解析：0<3<π<4<+∞,
且函数f(x)的减区间为［0,+∞］,∴f(3)>f(π)>f(4).
11.函数y=-x2-10x+11在区间［-1,2］上的最小值是________________.
答案：-13
解析：因为y=-x2-10x+11=-(x+5)2+36,根据二次函数的性质可知函数在［-1,2］上是减函数,故函数的最小值是f(2)=-22-10×2+11=-13.
12.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),求满足下列条件的实数a的取值范围:
(1)f(x)在定义域内单调递减;
(2)f(1-a)
或-
(1)求证:f(1)=f(-1)=0且f( )=-f(x)(x≠0);
(2)判断f(x)与f(-x)的关系;
(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,解不等式f( )-f(2x-1)≥0.
(1)证明:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)?得f(1)=0.
再令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)得f(-1)=0.
对任意x≠0,有f(x)+f( )=f(1)=0,
∴f( )=-f(x).
(2)解：对任意x∈R且x≠0,有f(-x)+f(-1)=f(x),
∴f(-x)=f(x).
(3)解：∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f( )=-f(x),则-f(x)-f(2x-1)≥0 f(x)+f(2x-1)≤0,即f［x(2x-1)］≤0 0<|x(2x-1)|≤1,解得- ≤x≤1且x≠0,x≠ .
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14.(四川成都模拟)已知f(x)是R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R上的( )
A.增函数 B.减函数
C.先减后增的函数 D.先增后减的函数
答案：B
解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数.
15.函数y=f(x)是定义在R上的减函数,则y=f(|x+2|)的单调减区间是____________________.
答案：［-2,+∞)
解析：∵y=f(u)在R上递减,
u=|x+2|在［-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,
∴y=f(|x+2|)在［-2,+∞)上递减.
16.已知函数f(x)对任意x、y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- .
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.
(1)证明:令x=y=0,f(0)=0,令y=-x可得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
∵x1>x2,
∴x1-x2>0.
又∵x>0时f(x)<0,
∴f(x1-x2)<0,
即f(x1)-f(x2)>0.
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.
(2)解：∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在［-3,3］上也是减函数.
∴f(-3)最大,f(3)最小.
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(- )=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2,
即f(x)在［-3,3］上最大值为2,最小值为-2.