2102年高考数学预测试题及答案

详细内容

北京2012届高考预测试卷数学理试题

第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．12 B．11 C． D．
4．若数列 的前n项和为 ，则下列命题：
（1）若数列 是递增数列，则数列 也是递增数列；
（2）数列 是递增数列的充要条件是数列 的各项均为正数；
（3）若 是等差数列（公差 ），则 的充要条件是
（4）若 是等比数列，则 的充要条件是
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．如图，长方形的四个顶点为 ，曲线 经过点 ．现将一质点随机投入长方形 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．

6．已知:命题 ：“ 是 的充分必要条件”；
命题 ：“ ”．则下列命题正确的是（ ）
A．命题“ ∧ ”是真命题 B．命题“（┐ ）∧ ”是真命题
C．命题“ ∧（┐ ）”是真命题 D．命题“（┐ ）∧（┐ ）”是真命题
7．若空间三条直线a、b、c满足 ，则直线 （ ）
A．一定平行B．一定相交
C．一定是异面直线D．一定垂直
8．函数 的图象大致是（ ）

9．如图所示的方格纸中有定点 ，则 （ ）
A． B． C． D．

10．设 的最大值为（ ）
A． 80　　　　 B． 　　　　 C． 25　　　D．
11．若双曲线 的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且 ，那么α的值是（ ）
A． B． C． D．
12．若实数 满足 ，则称 是函数 的一个次不动点．设函数 与函数 （其中 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13． 展开式中常数为 ；
14．在 中，已知 分别为 ， ， 所对的边， 为 的面积．若向量 满足 ，则 = ．
15．执行如图的程序框图，那么输出 的值是 ；

16、已知 ， ， ， 。
根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题． 规定每位考生必须且只须在其中选做一题． 设4名考生选做这两题的可能性均为 ．
（Ⅰ）求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率；
（Ⅱ）设这4名考生中选做第22题的学生个数为 ，求 的概率分布及数学期望。

19．（本小题满分12分）如图， 是圆 的直径，点 在圆 上， ， 交 于点 ， 平面 ， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和 ．
（Ⅰ） 求数列｛ ｝的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列｛ ｝的前 项和．

21．（本小题满分12分）直线 与椭圆 交于 ， 两点，已知 ， ，若 且椭圆的离心率 ，又椭圆经过点 ， 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线 过椭圆的焦点 （ 为半焦距），求直线 的斜率 的值；
（Ⅲ）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

22．（本小题满分14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，试比较 与1的大小；
（Ⅲ）求证： ．