2012年北京市高三数学模拟题及答案（理5月）

详细内容

2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（三）
数 学 理工农医类（北京卷）
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
1.若集合 ,则 = ( )
A. B. C. D.
2.若等比数列 满足 ，则公比为
A．2 B．4 C．8 D．16
3.设集合A＝{0,2,4}，B＝{1,3,5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( 　)
A．24个 B．48个 C．64个 D．116个

4.在极坐标系中，点 到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( 　　)
A．3 B. C. D.2

5.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是
A．8 B．5
C．3 D．2

6.若 ，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于
A．2 B．3
C．6 D．9

7. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系： ，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=
A．5太贝克 B．75In2太贝克
C．150In2太贝克 D．150太贝克
8.对实数 和 ，定义运算“ ”： ＝ ，设函数 ，若函数 的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]∪ B．(－∞，－2]∪
C. D.

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9. 5i1－2i＝ .
10.已知向量a，b满足(a＋2b)•(a－b)＝－6，且|a |＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
11.设双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 ，该双曲线的离心率是 .
12.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200 名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．

13.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC= ．
14.设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G= 所组成的图形面积是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
已知向量 ， ，
(I)若 ，求 的值；
(II)在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求函数 的取值范围.

16．（本小题满分13分）
如图5，正△ 的边长为4， 是 边上的高， 分别是 和 边的中点，现将△ 沿 翻折成直二面角 ．
（I）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
（II）求二面角 的余弦值；
（III）在线段 上是否存在一点 ，使 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由。

17.(本题满分13分)
某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）
甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41
乙：10 26 30 30 34 37 44 46 46 47
（I）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论；

（II）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起，按高度分成一、二两个等级，每个等级按不同的价格出售.某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗.已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性各占一半，求该市绿化部门此次采购所需资金总额 的分布列及数学期望值 w

18.（本小题满分13分）
已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若直线 是曲线 的切线，求实数 的值；
（Ⅲ）设 ，求 在区间 上的最大值.（其中 为自然对数的底数）

19.（本小题满分14分）新课 标 第 一网
已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 .
（Ⅰ）直线 与椭圆交于不同的两点 ，若 是以 为直径的圆上的点，当 变化时，求 点的纵坐标 的最大值；
（Ⅱ）过点 且斜率 为的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，是否存在 ，使得向量 与 共线？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分14分）
设数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 记 证明：Sn＜1.