2015高考复习数学参数方程一轮试题
详细内容
2015高考数学参数方程一轮复习试题
【选题明细表 】
知识点、方法题号
参数方程与普通方程互化2、3、14
参数方程及其应用5、6、11、13
极坐标方程与参数 方程的综合1、4 、7、8、9、10、12、15、16
一、填空题
1. (2013年高考广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为 .
解析:由ρ=2cos θ知ρ2=2ρcos θ,
因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1,
故曲线C的参数方程为 (φ为参数).
答案: (φ为参数)
2.(2013年高考陕西卷)圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 .
解析:由 消去参数t得x= ,
即y2=4x,
则焦 点坐标为(1,0).
答案:(1,0)
3.(2013陕西师大附中高三第四次模拟)直线l1: (t为参数)与圆C 2: (θ为参数)的位置关系是 .
解析:直线l1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α= 0,
圆C2的普通方程为x2+y2=1,
圆心到直线的距离为
d= <1,
因此直线l1与圆C2相交.
答案:相交
4.(2013年高考江西卷)设曲线C的参数方程为 (t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为 .
解析:由参数方程 得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.
由公式 得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ.
答案:ρcos2θ=sin θ
5.(2012年高考北京卷)直线 (t为参数)与曲线 (α为 参数)的交点个数为 .
解析:由已知得直线的普通方程为x+y-1=0,曲线的普通方程为x2+y2=9,表示以原点为圆心,半径为3的圆,
而直线x+y-1=0过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2+y2=9内,∴直线与曲线一定有2个交点.
答案:2
6.(2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1: (t为参数)与曲线C2: (θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a= .
解析:曲线C1的普通方程为2x+y=3,与x轴的交点为 ;曲线C2的普通方程为 + =1,与x轴的交点为(a,0)和(-a,0),由题意可得a= .
答案:
7.已知抛物线C1的参数方程为 (t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= .
解析:抛物线C1的普通方程为y2=8x,其焦点坐标是(2,0 ),过该点且斜率为1的直线方程是y=x-2,即x-y-2=0.圆ρ=r的圆心是极点、半径为r,直线x-y-2=0与该圆相切,则r= = .
答案:
8.(2013深圳市期末检测)已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,直线l的参数方程为 (t为参数),则直线l与曲线C相交所得弦长为 .
解析:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y ,
即x2+(y-3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.
直线l的普通方程为x-2y+1=0.
所以点C到l的距离d= = .
故所求弦长为2 =2 =4.
答案:4
9.(2013湖南十二校联考)设极点与坐标原点重合,极轴与x轴正半轴重合,已知直线l的极坐标方程为ρsin θ- =a,a∈R.圆C的参数方程是 (θ为参数),若圆C关于直线l对称,则a= .
解析:圆C的圆心坐标为(2 ,2),其极坐标为 4, ,
由题意知点 4, 在直线l上,
于是4sin - =a,
即a=-2.
答案:-2
10.若直线l的极坐标方程为ρcos =3 ,圆C: (θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为 .
解析:∵ρcos θ- =3 ,
∴ρcos θ+ρsin θ=6,
∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.
由圆C的参数方程 知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.
圆心C(0,0)到直线l的距离为 =3 .
∴dmax=3 +1.
答案:3 +1
11.(2012年高考天津卷)已知抛物线的参数方程为 (t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .
解析:∵y=2pt,∴y2=4p2t2.
又∵t2= ,
∴y2=4p2× =2px(p>0).
∵|EF|=|MF|,|MF|=|ME|,
∴△EMF是等边三角形,
过点F作FA⊥ME交ME于A,
则A为ME的中点,且xA= .
∴xM+xE=2xA(其中,xA、xM、xE分别为点A、M、E的横坐标),
∴3+ =2× ,∴p=2.
答案:2
12.(2013年高考湖北卷)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为 (φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin θ+ = m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为 .
解析:将椭圆C的参数方程 (φ为参数,a>b >0)化为普通方程为 + =1(a>b>0).
又直线l的极坐标方程为ρsin θ+ = m(m为非零常数),
即ρ sin θ• +cos θ• = m,
则该直线的直角坐标方程为y+x-m=0.
圆的极坐标方程为ρ=b,
其直角坐标方程为x2+y2= b2.
∵直线与圆O相切,
∴ =b,|m|= b.
又∵直线l经过椭圆C的焦点,
∴|m|=c.
∴c= b,c2=2b2.
∵a2=b2+c2=3b2,∴e2= = .
∴e= .
答案:
二、解答题
13.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2si n 2α),
因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M的轨迹的参数方程为 (α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d= = (0<α<2π).
当α=π时,d=0,
故M的轨迹过坐标原点.
14.(2013河北省衡水中学高三模拟)已知圆C1的参数方程为 (φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos θ+ .
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)圆C1、C2是否相交, 若相交,请求出公共弦的长,若不相交请说明理由.
解:(1)由 得x2+y2=1,
∵ρ=2cos θ+ =cos θ- sin θ,
∴ρ2=ρcos θ- ρsin θ.
∴x2+y2-x+ y=0,
即 x- 2+ y+ 2=1.
(2)圆心距d= =1<2,得两圆相交,设两交点为A、B,
由
得A(1,0),B - ,- ,
∴|AB|= = .
即公共弦的长为 .
15.(2013年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos θ- =2 .
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为 (t∈R为参数),求a,b的值.
解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C1与C2交点的极坐标为 4, , 2 , .
(注:极坐标系下点的表示不唯一.)
(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为
(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,
由直线PQ的参数方程可得y= x- +1.
所以
解得a=-1,b=2.
16.(2013年高考福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为 , ,直线l的极坐标方程为ρcos θ- =a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为 (α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解:(1)由点A , 在直线ρcos θ- =a上,
可得a= .
所以直线l的极坐标方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,
因为圆心C到直线l的距离d= = <1,
所以直线与圆C相交.