2015高考数学一元二次不等式及其解法一轮专练
详细内容
2015高考数学一元二次不等式及其解法一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
一 元二次不等式的解法1、3、9、14
其他不等式的解法2、8
恒成立问题10、12、13、15
实际应用问题4、16
综合应用5、6、7、11
一、选择题
1.(2013渭南模拟)函数y= 的定义域为( B )
(A)(-∞,-4)∪(1,+∞)(B)(-4,1)
(C)(-4,0)∪(0,1)(D)(-1,4)
解析:由-x2-3x+4>0得x2+3x-4<0,
解得-4
(A) (B)
(C) ∪[1,+∞)(D) ∪[1,+∞)
解析:不等式 ≤0
⇒
⇒-
3.如果关于x的不等式5x2-a≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a的取值范围是( A )
(A)80≤a<125(B)80
解析:5x2-a≤0,得- ≤x≤ ,
而正整数解是1,2,3,4,
则4≤ <5,
∴80≤a<125.
故选A.
4.(2013沈阳模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( C )
(A)12元(B)16元
(C)12元到16元之间(D)10元到14元之间
解析:设销售价定为每件x元,利润为y,则:
y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意有,(x-8)[100-10(x-10)]>320,
即x2-28x+192<0,
解得12
5.(2013广州模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( C )
(A)m> (B)0
解析:不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
则有Δ=1-4m<0,
∴m> ,
∴它的一个必要不充分条件应为m>0.故选C.
6.(2013莆田二模)不等式(x2- 2)log2x>0的解集是( A )
(A)(0,1)∪( ,+∞)(B)(- ,1)∪( ,+∞)
(C)( ,+∞)(D)(- , )
解析:原不等式等价于 或
∴x> 或0
7.(2013厦门模拟)对于实数x,当n≤x
又由题意,当n≤x
∴x的取值范围应为2≤x<8.故选A.
二、填空题
8.(2013山东师大附中第三次模拟)不等式 <0的解集是 .
解析:原不等式等价为x(x-1)(x+2)<0,
解得x<-2或0
答案:(-∞,-2)∪(0,1)
9.(2013烟台模拟)已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为 - , ,则不等式-cx2+2x-a>0的解集为 .
解析:依题意知,
∴解得a=-12,c=2,
∴不等式-cx2+2x-a>0,
即为-2x2+2x+12>0,即x2-x-6<0,
解得-2
答案:(-2,3)
10.已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2;若当 x∈ 时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的 最小值为 .
解析:当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,
∵x∈ ,
∴f(x)min=f(-1)=0,
f(x )max=f(-2)=1,
∴m≥1,n≤0,m-n≥1.
答案:1
11.(2013年高考重庆卷)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0,对x∈R恒成立,则a的取值范围为 .
解析:由题意知,(8sin α)2-4×8•cos 2α≤0,
∴2sin2α-cos 2α≤0,
∴2sin2α-(1-2sin2α)≤0,
∴4sin2α-1≤0,
∴sin2α≤ ,
又0≤α≤π,
∴0≤sin α≤ .
∴0≤α≤ 或 ≤α≤π.
答案: 0, ∪ ,π
12.(2013威海质检)不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意知,不等式(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立,
显然a=-2时,不等式4x-3>0不恒成立,a≠-2时应有
解得a>2.
答案:(2,+∞)
13.定义在R上的运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-y)*(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是 .
解析:∵(x-y)*(x+y)=(x-y)(1-x-y)=
x-x2-y+y2<1,
∴-y+y2
三、解答题
14.(2013日照模拟)已知函数f(x)= 的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
( 2)若函数f(x)的最小值为 ,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.
解:(1)∵函数f(x)= 的定义域为R,
∴ax2+2ax+1≥0恒成立,
∴当a=0时,1≥0恒成立.
当a≠0时,则有
∴0
(2)∵f(x)= = ,
∵a>0,
∴当x=-1时,f(x)min= ,
由题意得, = ,
∴a= ,
∴不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x- <0.
解得-
15.已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
解:法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,
此二次函数图象的对称轴为x=a,
①当a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3,
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得a≥-3.
又a<-1,∴-3≤a<-1.
②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,
由2-a2≥a,解得-2≤a≤1.
又a≥-1,
∴-1≤a≤1.
综上所述,所求a的取值范围为-3≤a≤1.
法二 由已知得x 2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2-2ax+2-a,即Δ=4a2-4(2-a)≤0,
或 解得-3≤a≤1 .
16.一个服装厂生产风衣,月销售量x(件) 与售价p(元/件)之间的关系为p=160-2x,生产x件的成本R=500+30x(元).
(1)该厂月产量多大时,月利润不少于1300元?
(2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?
解:(1)由题意知,月利润y=px-R,
即y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500.
由月利润不少于13 00元,得-2x2+130x-500≥1300.
即x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
故该厂月产量在20~45件范围内时,月利润不少于1300元.
(2)由(1)得,
y=-2x2+130x-500=-2 x- 2+ ,
由题意知,x为正整数.
故当x=32或33时,y最大为1612.
所以当月产量为32或33件时,可获最大利润,最大利润为1612元.