2013届高考数学函数及其表示复习课件和训练题

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2013年高考数学总复习 2-1 函数及其表示但因为测试 新人教B版

1.(2011•浙江嘉兴一中模拟)设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是(　　)

[答案]　B
[解析]　函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A中x∈(0,2]时没有函数值，C中函数值不唯一，D中的值域不是N，所以选B.
2．(文)(2011•广州市综合测试)函数y＝1－2x的定义域为集合A，函数y＝ln(2x＋1)的定义域为集合B，则A∩B等于(　　)
A．(－12，12] B．(－12，12)
C．(－∞，－12) D．[12，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由1－2x≥02x＋1>0得x≤12，x>－12.∴－12故A∩B＝(－12，12]．
(理)(2010•湖北文，5)函数y＝1log0.54x－3的定义域为(　　)
A.34，1 B.34，＋∞
C．(1，＋∞) D.34，1∪(1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　log0.5 (4x－3)>0＝log0.51，∴0<4x－3<1，
∴343．(2011•山东潍坊模拟)已知f(x)＝12x，x≥3，fx＋1，x<3，则f(log23)的值是(　　)
A.112 B.124
C．24 D．12
[答案]　A
[解析]　∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)
＝f(log23＋2)＝f(log212)
＝(12)log212＝112.
4．(2011•福建文，8)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案]　A
[解析]　∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知　f(a)＝－2.
当a>0时　2a＝－2不成立．当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
5．(文)(2010•广东六校)设函数f(x)＝2x　　x∈－∞，2]log2x x∈2，＋∞，则满足f(x)＝4的x的值是(　　)
A．2 B．16
C．2或16 D．－2或16
[答案]　C
[解析]　当f(x)＝2x时.2x＝4，解得x＝ 2.
当f(x)＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16.
∴x＝2或16.故选C.
(理)设 函数f(x)＝21－x－1　x<1lgx　　　x≥1，若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(10，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,10)
D．(0,10)
[答案]　A
[解析]　由x0<121－x0－1>1或x0≥1lgx0>1⇒x0<0或x0>10.
6．(2010•山东肥城联考)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：

x123
f(x)231
　
x123
g(x)321

则方程g[f(x)]＝x的解集为(　　)
A．{1} B．{2}
C．{3} D．∅
[答案]　C
[解析]　g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1；
g[f(3)]＝g(1)＝3，故选C.
7．(文)(2011•济南模拟)已知函数f(x)＝x－1x＋1，则f(x)＋f(1x)＝________.
[答案]　0
[解析]　∵f(1x)＝1x－11x＋1＝1－x1＋x，
∴f(x)＋f(1x)＝x－1x＋1＋1－x1＋x＝0.
(理)若f(a＋b)＝f(a)•f(b)且f(1)＝1，则f2f1＋f3f2＋f4f3＋…＋f2012f2011＝________.
[答案]　2011
[解析]　令b＝1，则fa＋1fa＝f(1)＝1，
∴f2f1＋f3f2＋f4f3＋…＋f2012f2011＝2011.
8．(2011•武汉模拟)已知f(2x＋1)＝lgx，则f(x)＝________.
[答案]　lg2x－1　(x>1)
[解析]　令2x＋1＝t，∵x>0，∴t>1，则x＝2t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，f(x)＝lg2x－1　(x>1)．
9．(文)(2011•广东文，12)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
[答案]　－9
[解析]　令g(x)＝x3cosx，则f(x)＝g(x)＋1，g(x)为奇函数．
f(a)＝g(a)＋1＝11，所以g(a)＝10，f(－a)＝g( －a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
(理)(2011•安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)•f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2011)＝________.
[答案]　132
[解析]　∵f(x＋4)＝13fx＋2＝1313fx＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为4，
所以f(2011)＝f(4×502＋3)＝f(3)＝13f1＝132.
10．已知函数f(x)＝x2＋12，　－1[解析]　∵f(1)＝e1－1＝1，又f(1)＋f(a)＝2，
∴f(a)＝1.
若－1此时a2＝12，
又－1若a≥0，则f(a)＝ea－1＝1，∴a＝1.
综上所述，a的值是1或－22.

11.(文)(2011•天津一中)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，34)
C．(34，＋∞) D．[0，34)
[答案]　D
[解析]　①m＝0时，分母为3，定义域为R.
②由m≠0，Δ<0得0 综上得0≤m<34.
(理)(2011•黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f(x)对于任意实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛涵．下面有4个函数：
①f(x)＝1; ②f(x)＝x2；
③f(x)＝(sinx＋cosx)x; ④f(x)＝xx2＋x＋1.
其中有两个属于有界泛涵，它们是(　　)
A．①② B．②④
C．①③ D．③④
[答案]　D
[解析]　由|f(x)|≤M|x|对x∈R恒成立，知|fxx|max≤M.
①中|fxx|＝|1x|∈(0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立；
②中|fxx|＝|x|∈[0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立；
③中|fxx|＝|sinx＋cosx|＝2|sin(x＋π4)|≤2，故存在M使不等式恒成立；
④中|fxx|＝|1x2＋x＋1|＝|1x＋122＋34|≤43，
故存在M使不等式恒成立．
[点评]　作为选择题判断①后即排除A、C，判断②后排除B，即可选出D.
12．(文)(2011•海南海口模拟)对a，b∈R，记min{a ，b}＝aa[答案]　1
[解析]　y＝f(x)是y＝12x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.

(理)(2011•山东烟台模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝fx，fx≤K，K，　fx>K.取函数f(x)＝a－|x|(a>1)．当K＝1a时，函数fK(x)在下列区间上单调递减的是(　　)
A．(－∞，0) B．(－a，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　当K＝1a时，fK(x)＝a－|x|，a－|x|≤1a，1a，a－|x|>1a

＝1a|x|，x≤－1或x≥1，1a，－1∵a>1，∴0<1a<1，如图，作出函数fK(x)的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)．
13．(文)(2011•上海交大附中月考)函数f(x)＝x2x2＋1，则f(14)＋f(13)＋f(12)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
[答案]　72
[解析]　f(1)＝12，f(x)＋f(1x)＝x2x2＋1＋1x21x2＋1＝x2x2＋1＋11＋x2＝1，则f(14)＋f(13)＋f(12)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3＋12＝72.
(理)(2011•襄樊检测)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，　x≤0，2， x>0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　C
[解析]　 法一：若x≤0，则f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴－42＋b•－4＋c＝c，－22＋b•－2＋c＝－2，解得b＝4，c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2，　x≤0，2， x>0.
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
∴方程f(x)＝x有3个解．

法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数y＝f(x)的图象与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．
14．(2011•洛阳模拟)已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．
[答案]　5
[解析]　由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2得
0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．
[点评]　数对(a，b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f(x)的值域为[0,1]的要求．
15．(文)已知函数f(x)＝xax＋b(ab≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．
[解析]　由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得xax＋b＝x，
变形得x(1ax＋b－1)＝0，
解此方程得x＝0或x＝1－ba，
又因方程有唯一解，∴1－ba＝0，
解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，
∴f(x)＝2xx＋2.
(理)(2011•广东普宁模拟)已知函数f(x)＝lg(x＋ax－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
[解析]　(1)由x＋ax－2>0，得x2－2x＋ax>0，
a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)．
a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，
01＋1－a}．
(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2>0恒成立，
∴g(x)＝x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg(x＋ax－2)在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg(x＋ax－2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lga2.
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2，而h(x)＝3x－x2＝－(x－32)2＋94在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2，∴a>2.
16．(2010•深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨，(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析]　(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，
则y＝400＋60t－1206t(0≤t≤24)
令6t＝x，则x2＝6t且0≤x≤12，
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)；
∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)依题意400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，
解得4∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．

1．(2011•江西文，3)若f(x)＝ ,则f(x)的定义域为(　　)
A．(－12，0) B．(－12，＋∞)
C．(－12，0)∪(0，＋∞) D．(－12，2)
[答案]　C
[解析]　要使函数有意义，则有
2x＋1>02x＋1≠1，所以x>－12x≠0.故选C.
2．(2010•浙江宁波十校联考)值域为{2,5,10}，对应关系为y＝x2＋1的函数个数为(　　)
A．1 B．8
C．27 D．39
[答案]　C
[解析]　本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y＝2，即x2＝1时，x＝1，－1或±1有三种情况，同理当y＝5,10时，x的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.
3．(2010•陕西理，5)已知函数f(x)＝2x＋1，x<1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a， 则实数a等于(　　)
A.12 B.45
C．2 D．9
[答案]　C
[解析]　f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.
4．(2010•天津理，8)设函数f(x)＝ 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案]　C
[解析]　解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，∴当x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，故选C.

解法2：当a>0时，由f(a)>f(－a)得，log12 og2a>log12 a，
∴a>1；
当a<0时，由f(a)>f(－a)得，log12 (－a)>log2(－a)，∴－15．a、b为实数，集合M＝{ba，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，则a＋b的值为(　　)
A．－1　　　B．0　　　　C．1　　　　D．±1
[答案]　C
[解析]　∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，若f(ba)＝1，则有ba＝1，与集合元素的互异性矛盾，
∴f(ba)＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.
6．(2011•温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝[x10] B．y＝[x＋310]
C．y＝[x＋410] D．y＝[x＋510]
[答案]　B
[解析]　当x除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y＝[x10]，且易验证此时[x10]＝[x＋310]．
当x除以10的余数为7,8,9时，由题设知y＝[x10]＋1，且易验证知此时[x10]＋1＝[x＋310]．综上知，必有y＝[x＋310]．故选B.
7．设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G，且F?G.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，且g(x)为偶函数，则 称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝12x(x≤0)，若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，则函数g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2|x| B．g(x)＝log2|x|
C．g(x)＝12|x| D．g(x)＝log12 |x|
[答案]　A
[解析]　由延拓函数的定义知，当x≤0时，g(x)＝12x，当x>0时，－x <0，∴g(－x)＝12－x＝2x，
∵g(x)为偶函数，∴g(x)＝2x，
故g(x)＝12x　　x≤02x x>0，即g(x)＝2|x|.

8．(2011•广东揭阳一模)函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是(　　)
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
[答案]　B
[解析]　要使函数有意义，须满足2－x>0x－1>0，
∴19．(2011•合肥模拟)已知函数f(x)＝log21－x，x≤0，fx－1＋1，x>0，则f(2011)等于(　　)
A．2008 B．2009
C．2010 D．2011
[答案]　D
[解析]　当x>0时，f(x)－f(x－1)＝1，∴f(2011)
＝[f(2011)－f(2010)]＋[f(2010)－f(2009)]＋…＋[f(1)－f(0)]＋f(0)
＋f(0)＝2011＋log21＝2011.
10.

如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的AP?的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)

[答案]　C
[解析]　函数在[0，π]上的解析式为
d＝12＋12－2×1×1×cosl＝2－2cosl
＝4sin2l2＝2sinl2.

在[π，2π]上的解析式为d＝2－2cos2π－l＝2sinl2，故函数的解析式为d＝2sinl2，l∈[0,2π]．
[点评]　这类题目解决的 基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．
11．(2010•广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x万元，可获得纯利润P＝－1160(x－40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获纯利润Q＝－159160(60－x)2＋1192•(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
[解析]　在实施规划前，由题设P＝－1160(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)
实施规划后的前5年中，由题设P＝－1160(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝7958(万元)
前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资 于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，
则其总利润为
W2＝[－1160(x－40)2＋100]×5＋(－159160x2＋1192x)×5＝－5(x－30)2＋4950.
当x＝30时，W2＝4950(万元)为最大值，
从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．
∵39758＋4950>1000，
∴该规划方案有极大实施价值．