2014南昌二中高考数学第十一次模拟试卷（有答案理科）

详细内容

2014南昌二中高考数学第十一次模拟试卷（有答案理科）
一、选择题（题型注释）
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）．
A．27 B．36 C．42 D．63
4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）

A．5 B．6 C． D．
5．若双曲线 的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为（ ）．
A．2 B． C． D．
6．若下面框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）

A． B． 　　　　C． 　　　D．
7．已知 中， 边的中点，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ，若 ， ，其中 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，不等式组 （ 为常数）表示

的平面区域的面积是9.那么实数 的值为（ ）
A． B． C． D．

9. 已知 ，函数 的零点分别为 ，函数 的零点分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
10．菱形ABCD的边长为 ， ,沿对角线AC折成如图所示的四面体，二面角B-AC-D为 ,M为AC的中点，P在线段DM上，记DP=x，PA+PB=y,则函数y=f(x)的图象大致为( )

二、填空题（题型注释）
11．已知 ，则 的展开式中x的系数为 ．
12．某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）
13．已知平面区域 ，直线 和曲线 有两个不同的交点，直线 与曲线 围成的平面区域为 ，向区域 内随机投一点 ，点 落在区域 内的概率为 ，若 ，则实数 的取值范围是 .
14．空间中任意放置的棱长为2的正四面体 .下列命题正确的是_________.（写出所有正确的命题的编号）
①正四面体 的主视图面积可能是 ；
②正四面体 的主视图面积可能是 ；
③正四面体 的主视图面积可能是 ；
④正四面体 的主视图面积可能是2
⑤正四面体 的主视图面积可能是 .
15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 中，曲线 与 的交点的极坐标为________
(2) （不等式选讲选做题）对于任意 恒成立，则实数a的取值范围______

三、解答题（题型注释）
16．已知 为单调递增的等比数列，且 ， ， 是首项为2，公差为 的等差数列，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）当且仅当 ， ， 成立，求 的取值范围.
17．如图，△ABC中．角A、B、C所对边的长分别为a、b、c满足c=l， 以AB为边向△ABC外作等边三角形△ABD．

(1)求∠ACB的大小；
(2)设∠ABC= ．试求函数 的最大值及 取得最大值时的 的值．

18．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有 两条巷道通往作业区(如下图)， 巷道有 三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是 ； 巷道有 两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为 ．
（1）求 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
（2）若 巷道中堵塞点个数为 ，求 的分布列及数学期望 ，并按照＂平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线＂的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．

19．等边三角形 的边长为3,点 、 分别是边 、 上的点,且满足 (如图1).将△ 沿 折起到△ 的位置,使二面角 成直二面角,连结 、 (如图2).
（1）求证 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ?若存在,求出 的长,若不存在,请说明理由.

20．如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，其上顶点为 已知 是边长为 的正三角形．

（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 任作一动直线 交椭圆 于 两点，记 ．若在线段 上取一点 ，使得 ，当直线 运动时，点 在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．

21．已知函数 ， ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知点 和函数 图象上动点 ，对任意 ，直线 倾斜角都是钝角，求 的取值范围．

南昌二中2014届高三第十一次模拟考试试题
数学(理)参考答案
【解析】
试题分析：由题知， ， ， ， .
， 又
故选B．
考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值.
10．D
【解析】因为 . ，
由题意可得 . .
所以 .由于两个函数的对称轴分别为 或 .所以图象的走向为选项D所示.
【考点】1.立几中的线面关系.2.函数的图象近似判断.3.函数关系式的建立.
11．
12．24
13．
14．①②③④
【解析】对于四面体 ，如下图：

当光线垂直于底面 时，主视图为 ，其面积为 ，③正确；
当光线平行于底面 ，沿 方向时，主视图为以 为底，正四面体的高 为高的三角形，则其面积为 ，②正确；
当光线平行于底面 ，沿 方向时，主视图为图中△ ，则其面积为 ，①正确；
将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为 ，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确.
【考点】1.几何体的三视图；2.几何图形的面积.
15．① ②
（2）因为 [－1,1]，所以对于任意 恒成立，
即5-2 ，而5-2 最小值为3，所以3 ，解得，实数a的取值范围是 。
考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，绝对值不等式的性质，三角函数的图象和性质。
点评：中档题，（2）是恒成立问题，这类题目的一般解法是转化成求函数的最值问题，本题转化成求5-2 最小值，是问题易于得解。
16．（1） ；（2） 的取值范围为
【解析】
试题分析：（1） 为单调递增的等比数列，说明 ，又根据 ， ，
列出关于 的方程组，解出 ，最后根据等比数列的性质，求出
（2）由题意 是首项为2，公差为 的等差数列，写出 的表达式，代入 ，整理得 ，按照当且仅当 ， ，列出不等式组，求出 的取值范围.
试题解析：（1）因为 为等比数列，所以
所以
所以 为方程 的两根；
又因为 为递增的等比数列， 所以 从而 ，
所以 ；
（2）由题意可知： ， ，
由已知可得： ，
所以 ，
当且仅当 ，且 时，上式成立，
设 ，则 ，
所以
，
所以 的取值范围为 .
考点：等比数列的性质，等差数列的前n项和公式，整系数二次函数的性质.
17．（1） ；（2）当 时， 取得最大值3.
【解析】
试题分析：本题主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用、倍角公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，利用余弦定理直接求 ，在三角形内解角C的大小；第二问，在三角形BCD中利用余弦定理先得到 的表达式也就是 ，再在三角形ABC中利用正弦定理得到a的表达式，代入到 中，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简 ，由题意， ，求函数 的最大值.
试题解析：⑴在 中，
∴∠ 4分
⑵由正弦定理知 6分
∴

10分
由于 ，故仅当 时， 取得最大值3. 12分
考点：1.余弦定理；2.正弦定理；3.倍角公式；4.两角和的正弦公式；5.三角函数最值.
18．（1）三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率为 ；（2）选择 巷道为抢险路线为好，该巷道平均堵塞点少.
【解析】
试题分析：（1） 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率 ；
（2）若 巷道中堵塞点个数为 ，先写出 的分布列，根据分布列求出数学期望 ，同样的方法求出 ,而 ，所以选择 巷道为抢险路线为好．
试题解析：（1）设 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞 为事件
则
（2）依题意, 的可能取值为0,1,2

所以,随机变量 的分布列为

012

(方法一)设 巷道中堵塞点个数为 ,则 的可能取值为0,1,2,3


所以,随机变量 的分布列为

0 1 2 3

因为 ,所以选择 巷道为抢险路线为好.
(方法二)设 巷道中堵塞点个数为 ,则随机变量 ,所以,
因为 ,所以选择 巷道为抢险路线为好.
考点：分布列、数学期望.
19．(1)参考解析； （2）
【解析】
试题分析：(1) 由 ，等边三角形 的边长为3.所以可得 ,所以在三角形ADE翻折过程中 始终成立.又由于 成直二面角.由平面与平面垂直的性质定理可得 平面 .
（2）由于平面 平面BCED.假设存在点P，过点P作BD的垂线，垂足为H.则 为所求的角.假设BP的长为x，根据题意分别求出相应的线段 .即可得结论.
(1) 因为等边△ 的边长为3,且 ,
所以 , ．
在△ 中, ,
由余弦定理得 ．
因为 ,
所以 ． （4分）
折叠后有

因为二面角 是直二面角,所以平面 平面
又平面 平面 , 平面 , ,
所以 平面 （6分）
（2）由(1)的证明,可知 , 平面 ．
以 为坐标原点,以射线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 如图

设 ,
则 , ,
所以 , ,
所以 （8分）
因为 平面 ,
所以平面 的一个法向量为
因为直线 与平面 所成的角为 ,
所以
, （10分）
解得
即 ,满足 ,符合题意
所以在线段 上存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ,此时 （12分）
考点：1.线面垂直.2.图形的翻折问题.3.线面角.4.空间想象力.
20．（1）椭圆 的方程为 ；（2）定直线的方程为 .
【解析】
试题分析：（1）因为 是边长为2的正三角形，所以 ，椭圆 的方程为 ；（2）设直线方程为 ，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出 ；
设点 的坐标为 则由 ，解得 ，故点 在定直线 上.
试题解析：（1）因为 是边长为2的正三角形，所以 ，所以，椭圆 的方程为
（2）由题意知，直线 的斜率必存在，设其方程为 .并设
由 消去 得
则
由 得 故
设点 的坐标为 则由 得
解得 故点 在定直线 上.
考点：椭圆的性质、设而不求思想、定直线问题.
21．（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）
【解析】
试题分析：（1）先求导，再令导数等于0，解导数大于0得函数的增区间，解导数小于0得函数的减区间。（2）可将问题转化为在 上 恒成立问题，即在 上 。先求导 ，因为 ，故可只讨论分子的正负问题，不妨令 ，讨论 在区间 上的正负问题，同时注意对 的讨论。根据导数正得增区间导数负得减区间，再根据函数的单调性求函数的最值。
解：⑴ 当 时， ，定义域为 ，


所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
⑵ 因为对任意 ，直线 的倾斜角都是钝角，
所以对任意 ，直线 的斜率小于0，即 ， ，
即 在区间 上的最大值小于1，
， ．
令
①当 时， 在 上单调递减， ，显然成立，所以 ．
②当 时，二次函数 的图象开口向下，
且 ， ，
， ，故 ， 在 上单调递减，
故 在 上单调递减， ，显然成立，所以 ．
⑶ 当 时，二次函数 的图象开口向上，且 ， ．
所以 ，当 时， ． 当 时， ．
所以 在区间 内先递减再递增．
故 在区间 上的最大值只能是 或 ．
所以 即 所以 ．
综上 ．
考点：1用导数研究函数的性质；2分类讨论思想。