2014安徽省安庆高考数学热身模拟试卷（含答案理科）

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2014安徽省安庆高考数学热身模拟试卷（含答案理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1.已知 为虚数单位,则复数 在复平面上所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知全集 ，集合 ，则 为（ ）
A． B． C． {0，1} D．
3.若 展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为（ ）
A． B． C． D．
4.已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 夹角为锐角”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样
6. 设数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7.函数 的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，
过点A的直线 与函数的图像交于C、B两点，则 （ ）
A．?8 B．?4 C．4 D．8
8.设函数 是定义在R上的函数，其中 的导函数 满足
对于 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
9. 右图是用模拟方法估计圆周率 的程序框图， 表示估计
的结果，则图中空白框内应填入（ ）
A．
B．
C．
D．
10. 如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系 轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心 在 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.

今使“凸轮”沿 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分）
11. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱篼为4，体积为16，则这个球的表面积是_______.
12. 已知 、 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为7,
则 的最小值为 .
13. 已知 分别是椭圆 的右顶点和上顶点，动点 在该椭圆上运动，则 的重心 的
轨迹的方程为 .
14.已知函数 在 处取得极值，且函数
在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为 .
15.如图，平面 与平面 交于直线 ，A，C是平面 内不同的两点，B，D是平面 内不同的两点，且A，B．C．D不在直线 上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断错误的是 .
①若AB与CD 相交，且直线AC平行于 时，
则直线BD与 可能平行也有可能相交
②若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与 平行
③若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，
则AB，CD不可能是异面直线
④M，N两点可能重合，但此时直线AC与 不可能相交
三、解答题（本大题共6小题，共75分．）
16 （本小题满分12分）
函数 的导函数 的部分图像如图所示,
其中点 为 的图像与 轴的交点, 为图像与 轴的
两个交点, 为图像的最低点.
(1)求曲线段 与 轴所围成的区域的面积
(2)若 ,点 的坐标为(0, ),且 ，求 在区间 的取值范围。
17 （本小题满分12分）
某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示，椐统计，随机变量 的概率分布如下：

0123

(Ⅰ)求 的值和 的数学期望；
（Ⅱ）若一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
18 （本小题满分12分）
如图在四面体 中， 平面 ，
是 的中点，点 是 的中点，点 在线段 上
且 (1)证明 平面 ;
(2)若 ，求二面角 的大小。

19（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 与椭圆 相交于 、 两点，
当 的斜率为1时，坐标原点 到 的距离为
（I）求 ， 的值；
（II）若 上存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立，求出所有P的坐标与 的方程。

20（本小题满分13分）
在 个不同数的排列 （即前面某数大于
后面某数）则称 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列
（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4.
（1）求（1，3，40，2）的逆序数；
（2）已知n+2 个不同数的排列 的逆序数是2.
（?）求 的逆序数an
（?） 令

21. (本题满分为14分)已知 ，函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)是否存在实数 ,使得 恒成立？若存在,求出实数 的取值集合；
若不存在，请说明理由．

安庆一中2014届高三第四次模拟考试（数学理科）答案
一 DBDAD BDCDA
二 11 12 7 13 14 15 ①②③
16(1)设曲线段 与 轴所围成的区域的面积为 则 ………………4分
(2) 由图知 , ,
∵点P的坐标为(0, ) ∴ ………………8分
∴ ……12分
17解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2 + =1，解答 =0.2
的概率分布为

0123
P0.10.30.40.2

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件 表示“两个月内有一个月被投诉2次，
另外一个月被投诉0次”；事件 表示“两个月内每月均被投诉1次”
则由事件的独立性得

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17
18解证明(Ⅰ)方法一如图6取 的中点 且 是 的中点
所以 因为 是 的中点所以 ;
又因为(Ⅰ) 且 所以
所以面 面 且 面
所以 面 ; …………… …6分
方法二如图7所示取 的中点 且 是 的中点
所以 ;
取 的四等分点， 使 且
所以
所以 且
所 ; …………… …6分
(Ⅱ)如图8所示由已知得到面 面 ，过 作 于
所以 ，过 作 于 连接
所以 就是 的二面角的平面角;
又


得 …………… …12分
19 解 (I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为
则 ，解得 .又 …………4分.
（II）由(I）知椭圆C的方程为 . 设 、
由题意知 的斜率一定不为0，故不妨设
代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。
由韦达定理有： ．．．．．．．．①．．．．．．．．．．6分．
.假设存在点P，使 成立，则其充要条件为：
点 ，点P在椭圆上，即 。
整理得 。
又 在椭圆上，即 .
故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
将 及①代入②解得 .．．．．．．．．．．10分
, = ,即
当 ;
当 . ………………12分
20解：（1） …………3分
（2）n+2个数中任取两个数比较大小，共有 个大小关系
…………6分
（3）
………10分

…………13分
21.（本题满分14分）