2014海南省高考数学预测模拟试卷（带答案理科）
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2014海南省高考数学预测模拟试卷（带答案理科）
一、选择题：本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。
1设全集 ，且 ，则满足条件的集合 的个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
2已知i是虚数单位， R，且 是纯虚数，则 等于( )
A．1 B．-1 C．i D．-i
3已知函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）
A B C D
4如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是 （ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是( )
A．2500,2500 B．2550,2550 C．2500,2550 D．2550,2500
6若数列 满足 ，则称数列 为调和数列。已知数列 为调和数列，且 ，则 （ ）
A10 B20 C30 D40
7设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函数 的图象过区域 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.
9 的外接圆的圆心为 ，半径为 ， 且 ，则向量 在 方向上的投影为 （ ）
A B C D）
10已知曲线 与函数 及函数 的图像分别交于 ，则 的值为
A．16 B．8 C．4 D．2
11．数列 满足 ， ，记数列 前n项的和为Sn，若 对任意的 恒成立，则正整数 的最小值为 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
12设函数 ,若 ,则点 所形成的区域的面积为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13 、已知集 , ,则集合 所表示图形的面积是
14．“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．
15.过抛物线 的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点，交准线于点C 若 ，则直线AB的斜率为________________
16设 ，若仅有一个常数c使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时， 的取值的集合为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知 分别在射线 （不含端点 ）上运动， ，在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ．
（Ⅰ）若 、 、 依次成等差数列，且公差为2．求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，试用 表示 的周长，
并求周长的最大值．
18．（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 [30，35）岁的人数；
分组（单位：岁）频数频率
[20，25]50.05
[25，30]①0.20
[30，35]35②
[35，40]300.30
[40，45]100.10
合计1001.00
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学 期望
19已知梯形 中， ∥ ， ， ， 、 分别是 、 上的点， ∥ ， ， 是 的中点.沿 将梯形 翻折，使平面 ⊥平面 (如图) . (Ⅰ) 当 时，求证： ⊥ ；
(Ⅱ) 若以 、 、 、 为顶点的三棱锥的体积记为 ，求 的最大值；
(Ⅲ)当 取得最大值时，求二面角 的余弦值.
20已知直线 相交于A、B两点.
（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求线段AB的长；
（2）（2）若向量 互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值.
21已知 .
（1）若 ，函数 在其定义域内是增函数，求 的取值范围；
（2）当 ， 时，证明函数 只有一个零点；
（3） 的图象与 轴交于 , ( )两点， 中点为 ，
求证： ．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22 如图，已知 是⊙O的切线， 为切点， 是⊙O的割线，与⊙O交于 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点．
（Ⅰ）证明 四点共圆；
（Ⅱ）求 的大小．
23在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线 相交于点M，在OM上取一点P，使 ．
（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为 上任意一点，试求RP的最小值．
24 已知|x-4|+|3-x|
（2）若不等式有解，求a的范围
数学试题（理科）参考答案
1---6 DAACDB 7---12 CBACAD
13 14. 15 16
17． 解（Ⅰ） 、 、 成等差，且公差为2，
、 . 又 ， ，
， ，
恒等变形得 ，解得 或 .又 ， .
（Ⅱ）在 中， ， ， ， .
的周长
，又 ， , 当 即 时， 取得最大值 ．
：18解：（I）0.2×100=20， ，
∴①处是20，②处是0.35，
∵由频率分步直方图中，[30，35）的人数是0.35×500=175
在频率分步直方图知，在[25，30）这段数据上对应的频率是0.2，
∵组距是5，
∴小正方形的高是 ，
在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形．
（II）用分层抽样方法抽20人，
则年龄低于30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，
故X的可能取值是0，1，2，
P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）=
∴X的分布列是
∴X的期望值是EX=
19解:（Ⅰ）作 于 ，连 ，
由平面 平面 知 平面
而 平面 ，故 又四边形
为正方形 ∴
又 ，故 平面
而 平面 ∴ .
（Ⅱ） ∵ ，面 面 ∴ 面
又由（Ⅰ） 平面 ∴
所以 ＝
即 时 有最大值为 ．
（Ⅲ）设平面 的法向量为
∵ , ， ， ∴
则 即 取 则 ∴ 面 的一个法向量为 则 < >
由于所求二面角 的平面角为钝角
所以，此二面角的余弦值为－ .
20（1） ，
，
联立
则
，
（2）设 ，
由 ，
，
，
由此得 故长轴长的最大值为
21. 解：（1）依题意：f(x)＝lnx＋x2－bx．∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴ 对x∈(0，＋∞)恒成立，……1分
即 对x∈(0，＋∞)恒成立，只需 ． …………2分
∵x＞0，∴ ，当且仅当 时取“＝”，
∴ ，∴b的取值范围为 ． ………………4分
（2）当a＝-1，b＝－1时，f(x)＝lnx+x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，
．
∴函数f(x)只有一个零点．……7分
（3）由已知得 ，
两式相减，得
． …………9分
由 及2x0＝x1＋x2，得
令 ．
∵ ，∴φ(t)在(0，1)上递减，∴φ(t)＞φ(1)＝0．
∵x1＜x2，∴f ′(x0)＜0． …………12分
23解：（1）设 ， ，因为 在直线OM上, ,所以
（2）: 设y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）
等价于:
其图象为:
由图象知: 当a≤1时,|x-4|+|3-x|