2014蓟县擂鼓台高考数学二模试卷（含答案理科）
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2014蓟县擂鼓台高考数学二模试卷（含答案理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列｛a ｝中，已知a =2,a +a =13，则a 等于 （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
4． 的展开式中，常数项为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．名工人某天生产同一零件，生产的件数是 设其平均数为 ,中位数为 ,众数为 ，则有
Ａ． B． C． D．
6．如右程序框图，输出的结果为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
7．．若函数 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
8．同时具有性质“①最小正周期是 ，②图象关于直线 对称；③在 上是增
函数”的一个函数是
A． B．
C． D．
9． 、 ， 、 、 是共起点的向量， 、 不共线， ，则 、 、 的终点共线的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是以 为周期的偶函数，当 时， ，那么在区间 内，关于 的方程 （ 且 ）有 个不同的根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D ．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
11． ＝ 。
12．已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围
是 。
13．在极坐标系中,点 到曲线 上的点的距离的最小值为 .
14．圆内非直径的两条弦 相交于圆内的一点 ,已知 ,
则
15．已知某个几何体的三视图如下
（主视图的弧线是半圆），根据
图中标出的尺寸（单位：cm），
可得这个几何体的体积是 .
16． 圆 关于直线 对称，则ab的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在 中，已知内角 ，边 .设内角 ,面积为 .
(1)若 ，求边 的长；
(2)求 的最大值.
18．（本小题满分12分）
如图，已知一四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）证明：BD⊥AE。
（3）求二面角P-BD-C的正切值。
19．（本小题满分12分）
某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由果园承担.
若果园恰能在约定日期( 月 日)将水果送到,则销售商一次性支付给果园20万元; 若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给果园1万元; 若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给果园1万元.
为保证水果新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送水果,已知下表内的信息
统计信息
汽车行
驶路线不堵车的情况下到达城市乙所需 时间 (天)堵车的情况下到达城市乙所需时间 (天)堵车的
概率
运费
(万元)
公路123
公路214
(注毛利润 销售商支付给果园的费用 运费)
(Ⅰ) 记汽车走公路1时果园获得的毛利润为 (单位万元),求 的分布列和数学期望 ;
(Ⅱ) 假设你是果园的决策者,你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多?
20．（本小题满分12分）对于三次函数 。
定义：（1）设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”；
定义：（2）设 为常数，若定义在 上的函数 对于定义域内的一切实数 ，都有 成立，则函数 的图象关于点 对称。
己知 ，请回答下列问题：
（1）求函数 的“拐点” 的坐标
（2）检验函数 的图象是否关于“拐点” 对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数 ，使得它的“拐点”是 （不要过程）
21．（本小题满分14分）已知数列
⑴求证： 为等差数列；
⑵求 的前n项和 ；
⑶若 ，求数列 中的最大值.
数学理试卷（参考答案）
一、选择题：
………………8分
=
………………10分
，
当 即 时， 取得最大值 . ………………14分
19. 解 (1)汽车走公路1时,不堵车时果园获得的毛利润 万元;
堵车时果园获得的毛利润 万元;
汽车走公路1时果园获得的毛利润 的分布列为
……… 4分
万元 ……… 5分
（2）设汽车走公路2时果园获得的毛利润为 ，
不堵车时果园获得的毛利润 万元;
堵车时果园获得的毛利润 万元;
汽车走公路1时果园获得的毛利润 的分布列为
……… 10分
万元 ……… 12分
（2）由(1)知“拐点”坐标是 。
而 =
= = ，
由定义(2)知： 关于点 对称。……………………8分
一般地，三次函数 的“拐点”是 ，它就是 的对称中心。……………………………………………………………………10分
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分
（3） 或写出一个具体的函数,如 或 。…………12分
21. 解：⑴∵
∴
∴ 为等差数列，首项为 ，公差d=1(4分)
⑵由⑴得 ∴ (6分)
∴Sn=1•21＋2•22＋3•23＋…＋(n－1)•2n－1＋n•2n
2Sn=1•22＋2•23＋3•23＋…＋(n－1)•2n＋n•2n+1
两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n•2n+1
=
∴Sn=2－2n+1＋n•2n+1=(n－1)•2n+1＋2(10分)
⑶
∴ ∴ (12分)
又∵2(2n2＋n－1)－(2n2＋n)=2n2＋n－2
当n≥1时，2n2＋n－2>0 ∴2(2n2＋n－1)>2n2＋n>0
∴ 即bn＋1
数列{bn}中的最大值为b1=0.5
22. 解：（I）设点 、M、A三点共线，
…………………… 2分
…………………………………………… 5分
(II)设∠POM=α，则
由此可得tanα=1.………………… 8分
又 …………………… 10分
(Ⅲ)设点 、B、Q三点共线，
即 …………………………………… 12分