2014年广东省高考数学文科B卷（有解析）

详细内容

2014年广东省高考数学文科B卷（有解析）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. ，故选C.
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题. .故选A.
3．已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题. .故选C.
4．若变量 满足约束条件 则 的最大值等于（ ）
A． 11 B．10 C． 8 D． 7
4、解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值10。本题也可以通过平移直线 ，当直线 经过（4，2）时，截距达到最大，即 取得最大值10.故选答案B.
5．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5、解析：本题考察函数的奇偶性.对于A， ，非奇非偶，对于B， ，为偶函数；对于C, ，
为偶函数； D中函数的定义域为R，关于原点对称，且
为奇函数. 故答案为D。
6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A．20 B．25 C．40 D．50
6、解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为 ，故答案为B.
7．在 中，角A,B,C所对应的边分别为 则“ ”是 “ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
7、解析：本题考查正弦定理的应用。由于 所以
所以 ，故“ ”是 “ ”的充要条件，故选答案为A.
8．若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（ ）
A．焦距相等 B． 离心率相等 C．虚半轴长相等 D． 实半轴长相等
8、解析：本题考查双曲线的定义和几何性质.本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令 ，则这两个曲线方程分别为 和 ，它们分别对应的 ，故 。所以它们的焦距相等，故答案为A.
9．若空间中四条两两不同的直线 ，满足 则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． 与 既不垂直也不平行 D． 与 的位置关系不确定
9、解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型，易知 和 的位置关系可能有 或 ，故 与 的位置关系不确定.故答案为D.
10．对任意复数 定义 其中 是 的共轭复数，对任意复数 有如下四个命题：
① ② ；
③ ④ ；
则真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10、解析：本题属于信息创新型题目，要求学生利用以学过的知识来解决新问题.
对于①，
对于②， .
令 ， ，则 ，则
，所以
③
故
④ ，故
故答案为C.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11―13题）
11．曲线 在点 处的切线方程为________．
解析：本题考查导数的几何意义。 ，故 ，所以 在点 处的切线方程为 即
12．从字母 中任取两个不同字母，则取字母 的概率为________．
解析：本题考查古典概型.采用列举法，从字母 中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10个，含有字母a有ab,ac,ad,ae。故概率为
13．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 ________．
解析：本题考查等比数列的定义和性质.
本题也可以直接引入 和 这两个基本量求解.
选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 与 的方程分别为 与 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 与 交点的直角坐标为________
解析：本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由 得 即 ，由 得 .联立 和 ，解得 ， ，所以则曲线 与 交点的直角坐标为（1，2）.
15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形 中，点 在 上且 与 交于点 则

解析：本题考查平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定以及性质。因为 即 ,所以 ∽ ,所以
三．解答题：本大题共6小题，满分80分
16．（本小题满分12分)
已知函数 ，且
求 的值；
若 ，求
解析：（1）由题意得 ，所以
.
（2）由（1）得 ，所以
所以
.因为 ，所以.
所以
点评：笔者觉得2014年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大，第一问属于送分题，与往年设计求解特殊函数值类似，第二问比往年设计得复杂些，但对于中上层考生来讲，笔者仍觉得这是个容易题，思维受阻的可能性比较小.
17．（本小题满分13分）
某车间20名工人年龄数据如下表：
.
求这20名工人年龄的众数与极差；
以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
求这20名工人年龄的方差．
解析：（1）年龄30的的工人数为5，频率最高，故这20名工人年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40-19=21.
（2）茎叶图如下:
(3) 这20名工人年龄的平均数为
所以这20名工人年龄的方差
点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得学生会遇到几个问题，一是计算容易出错，二是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.
18．（本小题满分13分）
如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．
证明：CF⊥平面MDF；
求三棱锥M-CDE的体积．

18（1）证明：（1）因为 面 , 面 ,所以 .又因为四边形 为矩形，所以 ,因为 ,所以 面 .在图3中，因为 面 ，所以 即 ,又因为 , ,所以 面 .
(2)因为 面 ， 面 ,所以 .在图2中， .
因为 ,所以 .所以在 中， ， .所以在图3中， 即 .在 , .又因为在 , ,所以 ,所以 ,所以
所以 .
点评：本次考试的立体几何题基本与近两年较相似，主要汇集在线面位置关系的证明和锥（柱）体的体积求解，本题的第（2）问计算量较大，这也是做立体几何题常常会遇到的一个困难和挑战！
19．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足
求 的值；
求数列 的通项公式；
证明：对一切正整数 ，有
解析：（1）当 时， 解得 或 。因为 ，所以 .
（2）由题意得 ,因为 ，所以 ，所以 ，所以
即
当 时，
当 ， 满足上式，故
（3）证明：当 时， .
当 时，
所以
所以

故对一切正整数 ，有
点评：本道题的第（1）问是基础题，难度较小，第（2）问可能会让部分学生思维受阻，注意到 ，其本质就是关于 的一元二次方程，采用因式分解或求根公式求出 是解决本题的关键！第（3）问是数列求和放缩问题，放缩目标为 ，结合题目特点不难猜测利用 这个模型就可以达到目的，而在证明 方法很多，分析法和综合法都可以派上用场。与2014年广东理科数列题第19相比，笔者觉得文科的难度其实更大！
20．（本小题满分14分）
已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 。
求椭圆C的标准方程；
若动点 为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解析：（1）由题意得 ， ，所以 ，所以 ，所以椭圆C的标准方程为 .
由题意可设两条直线的斜率存在，则其中的一条切线方程为 ，则另一条切线为 .联立 ，消 得
因为直线与椭圆相切，所以 ，化简得 .同理可得 。又因为 是这两条切线的交点，所以联立 解得 ，所以 .所以 ， ，因为 ， 所以 ，将 和 代入 式，得
.
当 与 轴垂直， 轴时，或 与 轴垂直 轴时，此时满足条件的 的坐标为 ，满足上述方程，所以点P的轨迹方程为
点评：本题的第（2）问与2012年广东文科高考和2011年广东理科第（1）问有几分相似，方法很类似，考查了转化与化归的能力，计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题！
21． (本小题满分14分)
已知函数
求函数 的单调区间；
当 时，试讨论是否存在 ，使得
解析： . 令
当 即 时， ，所以 的单增区间为 .
当 即 时， 有两个不等的根， ，

当 当 当 所以 的单增区间为 和 ，单减区间为 .
综上所述，当 ， 的单增区间为 .当 ， 的单增区间为 和 ，单减区间为 ..
（2）当 时， ， ， .因为 ，所以 所以 ， .
由（1）知 在 单减，在 单增.
当 即 时， 在 单减，故不存在 ，使得
当 即 ， 在 上单减，在 上单增.
当 即 此时 在 上单减，在 上单增.故不存在 ，使得
当 时，此时 ，所以 ，而 ，所以存在 使得 .
时，存在 ，使得 .
当 时，此时
，所以 ，而 ， 即
，所以存在 使得 .
综上所述： 当 或 时，不存在 ，使得 ，当
或 时，存在 ，使得 .
点评：与2011广东高考的19题或2012的21题相比，你会觉得第（1）问其实并不难！难度较大的是本题的第（2）问，综合考查了分类讨论和转化与化归思想的能力，可以想象学生在短短的两小时内要考虑这么多，将是一个很大的挑战和考验！