2015高三数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入一轮复习题有解析
详细内容
05限时规范特训
A级 基础达标
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A. 若a•b＝0，则a＝0或b＝0
B. 若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C. 若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D. 若a•b＝a•c，则b＝c
解析：当a•b＝0时，a与b也可能垂直，故选项A是假命题；
当a2＝b2时，|a|＝|b|，故选项C是假命题；
当a•b＝a•c时，b与c也可能垂直，故选项D是假命题，选B.
答案：B
2．[2014•江门市模拟]若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)•AC→＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：由AB→＋CD→＝0知，AB→＝DC→，
即AB＝CD，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又(AB→－AD→)•AC→＝0，
∴DB→•AC→＝0，即AC⊥BD，
因此四边形ABCD是菱形，故选B.
答案：B
3．[2014•四川模拟]设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
解析：∵a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，
∴a与b必须方向相同才能满足a|a|＝b|b|.故选D.
答案：D
4.
[2014•太原五中月考]如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则( )
A．x＝23，y＝13 B．x＝13，y＝23
C．x＝14，y＝34 D．x＝34，y＝14
解析：由题可知OP→＝OB→＋BP→，又BP→＝2PA→，所以OP→＝OB→＋23BA→＝OB→＋23(OA→－OB→)＝23OA→＋13OB→，所以x＝23，y＝13，故选A.
答案：A
5．[2014•合肥质检]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别为CD、BC的中点，若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝( )
A.15 B.25
C.35 D.45
解析：因为AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋→＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，所以AB→＝85AN→－45AM→，所以λ＋μ＝45.
答案：D
6．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP→＝13(12OA→＋12OB→＋2OC→)，则点P一定为三角形ABC的( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
解析：设AB的中点为M，
则12OA→＋12OB→＝OM→，
∴OP→＝13(OM→＋2OC→)＝13OM→＋23OC→，
即3OP→＝OM→＋2OC→，
也就是MP→＝2PC→，
∴P，M，C三点共线，且P是CM靠近C点的一个三等分点．
答案：B
7．[2014•广州模拟]在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．
解析：MN→＝MC→＋→＝12AD→－14AC→＝12b－14(a＋b)＝－14a＋14b.
答案：－14a＋14b
8．[2014•北京东城区模拟]正三角形ABC边长为2，设BC→＝2BD→，AC→＝3AE→，则AD→•BE→＝________.
解析：∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋12BC→，BE→＝AE→－AB→＝13AC→－AB→，∴AD→•BE→＝(AB→＋12BC→)•(13AC→－AB→)＝13AB→•AC→＋16BC→•AC→－12BC→•AB→－AB→2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.
答案：－2
9.
如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．
解析：∵O是BC的中点，
∴AO→＝12(AB→＋AC→)．
又∵AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，
∴AO→＝m2AM→＋n2AN→.
∵M，O，N三点共线，
∴m2＋n2＝1，则m＋n＝2.
答案：2
10.
如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝13AC，在AB上取点M，使得AM＝13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN，在CM的延长线上取一点Q，使MQ＝λCM时，AP→＝QA→，试确定λ的值．
解：AP→＝NP→－NA→＝12(BN→－→)＝12(BN→＋NC→)＝12BC→.
QA→＝MA→－MQ→＝12BM→－λCM→
＝12BM→＋λMC→.
又AP→＝QA→，
∴12BM→＋λMC→＝12BC→，
∴λMC→＝12(BC→－BM→)
＝12MC→，
∴λ＝12.
11．[2014•海口模拟]设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA→＝－2i＋mj，OB→＝ni＋j，OC→＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．
解：AB→＝OB→－OA→＝(n＋2)i＋(1－m)j，
BC→＝OC→－OB→＝(5－n)i＋(－2)j.
∵点A、B、C在同一条直线上，
∴AB→∥BC→，即AB→＝λBC→，
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，由于i，j不共线，
∴n＋2＝λ5－n1－m＝－2λm＝2n，解得m＝6n＝3或m＝3n＝32.
12．[2013•山东莱芜一模]如图，已知△OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.
(1)用a和b表示向量OC→、DC→；
(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，
由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→.
∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，
DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
(2)如题图，EC→∥DC→.
又∵EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，
∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.
B级 知能提升
1．[2014•树德中学月考]BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF→＝2FA→，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则FD→•FE→的值是( )
A．－34 B．－89
C．－14 D．不确定
解析：依题意得FD→•FE→＝(FA→＋AD→)•(FA→＋AE→)＝(FA→＋AD→)•(FA→－AD→)＝FA→2－AD→2＝(13BA→)2－AD→2＝19－1＝－89，故选B.
答案：B
2．[2014•抚顺调研]在△ABC中，若AB＝1，AC＝3，|AB→＋AC→|＝|BC→|，则BA→•BC→|BC→|＝________.
解析：易知满足|AB→＋AC→|＝|BC→|的A、B、C构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，于是BA→•BC→|BC→|＝|BA→|•cos∠ABC＝1×cos60°＝12.
答案：12
3．在等边三角形ABC中，点P在线段AB上，且AP→＝λAB→(0<λ<1)，若CP→•AB→＝PA→•PB→，则实数λ的值是________．
解析：由题意不妨设等边三角形ABC的边长为1，如图，CP→＝AP→－AC→，PB→＝AB→－AP→.
又AP→＝λAB→(0<λ<1)，
由CP→•AB→＝PA→•PB→得(AP→－AC→)•AB→＝－AP→•(AB→－AP→)，
即(λAB→－AC→)•AB→＝－λAB→•(AB→－λAB→)，
λAB→2－AC→•AB→＝－λAB→2＋λ2AB→2，
即λ－1×1×12＝－λ＋λ2，
整理得2λ2－4λ＋1＝0(0<λ<1)，解得λ＝2－22.
答案：2－22
4．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求GA→＋GB→＋GO→；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.
解：(1)∵GA→＋GB→＝2GM→，又2GM→＝－GO→，
∴GA→＋GB→＋GO→＝－GO→＋GO→＝0.
(2)证明：显然OM→＝12(a＋b)．
因为G是△ABO的重心，
所以OG→＝23OM→＝13(a＋b)．
由P，G，Q三点共线，得OG→＝tOP→＋(1－t)OQ→，
即13a＋13b＝mta＋(1－t)nb，
由a，b不共线，得mt＝13，1－tn＝13，
∴1m＋1n＝3.