函数y=sin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用练习（带解析2015高考数学一轮）

详细内容

函数y=sin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用练习（带解析2015高考数学一轮）

A组　基础演练
1．(2013•全国)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝
(　　)

A．5　　　　　　　B．4
C．3 D．2
解析：由题中函数图象得函数的周期T＝2×π4＝π2.
∴ω＝2πT＝4.
答案：B
2．函数f(x)＝3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则θ等于
(　　)
A．kπ B．kπ＋π6
C．kπ＋π3 D．kπ－π3
解析：f(x)＝2sinπ3－3x－θ＝2sin－3x＋θ＋π3
∵f(x)是奇函数，∴θ＋π3＝kπ，k∈Z，
即θ＝kπ－π3(k∈Z)．
答案：D
3．将函数y＝sin(x＋φ)的图象F向左平移π6个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为π4，0，则φ的一个可能取值是
(　　)
A.π12 B.π6
C.5π6 D.7π12
解析：图象F′对应的函数y′＝sinx＋π6＋φ，
则π4＋π6＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－5π12，k∈Z，
令k＝1时，φ＝7π12，故选D.
答案：D
4．(2013•山东)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为
(　　)
A.3π4 B.π4
C．0 D．－π4
解析：y＝sin(2x＋φ) y＝sin2x＋π4＋φ
由sinπ4＋φ＝±1得φ＋π4＝kπ＋π2.
∴φ＝kπ＋π4(k∈Z)，故选B.
答案：B
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

解析：由题中图象可以看出32T＝π，∴T＝23π＝2πω，因此ω＝3.
答案：3
6．已知f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)，fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析：依题意，x＝π6＋π32＝π4时，y有最小值，
∴sinπ4•ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2kπ＋3π2(k∈Z)．
∴ω＝8k＋143(k∈Z)，因为f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4＜πω，即ω＜12，令k＝0，
得ω＝143.
答案：143
7．(2013•全国)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin(2x＋π3)的图象重合，则φ＝________.
解析：将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π2个单位后，所得图象的解析式为y＝cos(2x－π＋φ)．
即y＝sin2x＋φ－π2
因为它与y＝sin(2x＋π3)的图象重合，
所以φ－π2＝2kπ＋π3(k∈Z)
即φ＝2kπ＋5π6(k∈Z)
又因－π≤φ＜π
所以φ＝5π6.
答案：5π6
8．函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin2x－π6＋1.
(2)∵fα2＝2sinα－π6＋1＝2，
∴sinα－π6＝12.
∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3，
∴α－π6＝π6，∴α＝π3.
9．设函数f(x)＝4cosωx－π6sin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)若f(x)在区间－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．
解：(1)f(x)＝432cos ωx＋12sin ωxsin ωx－cos 2ωx
＝23sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＋sin2ωx
＝3sin 2ωx＋1，
因为－1≤sin 2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]．
(2)因为y＝sin x在每个闭区间2kπ－π2，2kπ＋π2
(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝3sin 2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间kπω－π4ω，kπω＋π4ω(k∈Z)上为增函数．
依题意知－3π2，π2⊆kπω－π4ω，kπω＋π4ω对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.
B组　能力突破
1．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π4，0，则ω的最小值是
(　　)
A.13 B．1
C.53 D．2
解析：利用平移法则求解．
根据题意平移后函数的解析式为y＝sin ωx－π4，将3π4，0代入得sinωπ2＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω＞0，故ω的最小值为2.
答案：D
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)0＜ω＜5，0≤φ≤π2的图象经过点0，32，且fπ4＝－1，则ω＝
(　　)
A.113 B．4
C.133 D.143
解析：依题意得，f(0)＝sin φ＝32；又0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f(π4)＝sin(ω×π4＋π3)＝－1得ω×π4＋π3＝2kπ－π2，ω＝8k－103，k∈Z；又0＜ω＜5，于是有0＜8k－103＜5，512＜k＜2524，k∈Z，因此k＝1，ω＝143，选D.
答案：D
3．(2014•福州模拟)在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝π9时有最大值12，当x＝4π9时有最小值－12，若φ∈0，π2，则函数解析式f(x)＝________.
解析：首先易知A＝12，由于x＝π9时，f(x)有最大值12，当x＝4π9时，f(x)有最小值－12，所以T＝4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin3×π9＋φ＝12，φ∈0，π2，解得φ＝π6，故f(x)＝12sin3x＋π6.
答案：12sin3x＋π6
4．已知函数f(x)＝23sinx2＋π4cosx2＋π4－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝3sinx＋π2＋sin x
＝3cos x＋sin x＝232cos x＋12sin x
＝2sinx＋π3，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝fx－π6＝2sinx－π6＋π3
＝2sinx＋π6.
∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈π6，7π6，
∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，sinx＋π6＝1，g(x)取得最大值2.
当x＋π6＝7π6，即x＝π时，sinx＋π6＝－12，g(x)取得最小值－1.