定积分专项练习（有解析2015高考数学一轮）

详细内容

定积分专项练习（有解析2015高考数学一轮）
A组　基础演练
1．(2014•辽宁营口一模)直线y＝x与抛物线y＝x(x＋2)所围成的封闭图形的面积等于
(　　)
A.16　　　　　　　　　　B.13
C.23 D.56
解析：解方程组y＝xy＝xx＋2
得x＝0y＝0或x＝－1y＝－1.
由积分的几何意义得

答案：C
2．(2012•湖北)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为
(　　)

A.2π5 B.43
C.32 D.π2
解析：用待定系数法求出二次函数解析式．
根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a＜0)．
因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.
所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.
所以
＝2x－13x310＝21－13＝43.
答案：B
3．设f(x)＝x2，　　x∈[0，1]，2－x，　x∈1，2]，则 f(x)dx等于
(　　)
A.34 B.45
C.56 D．不存在


答案：C
4．(2013•湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
(　　)
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln113
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
解析：由v(t)＝0得t＝4.故刹车距离为s＝ v(t)dt＝ 7－3t＋251＋tdt＝－32t2＋7t＋25ln1＋t ＝4＋25ln5.
答案：C
5．(2013•江西)若S1＝ x2dx，S2＝ 1xdx，S3＝ ，则S1，S2，S3的大小关系为
(　　)
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1
解析：S1＝13x3 ＝73，S2＝ln x|21＝ln 2，S3＝ex|21＝e2－e.∵ln 2＜1＜73，e2－e＝e(e－1)＞e＞73，故S2＜S1＜S3，选B.
答案：B
6．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为
(　　)
A.3 J B.233 J
C.433 J D．23 J
解析： F(x)×cos 30°dx＝ (5－x2)×32dx
＝5x－13x3×3221＝433，
∴F(x)做的功为433 J.
答案：C
7．图中阴影部分的面积是
(　　)
A．16 B．18
C．20 D．22
解析：S＝ y＋4－y22dy＝y22＋4y－y36 ＝18.
答案：B
8．(2013•湖南)若 x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析： x2dx＝ ＝T33＝9，解得T＝3.
答案：3
9．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f(x)＝min{1x，x}(x≥14)，则由函数f(x)的图象，x轴与直线x＝14和直线x＝2所围成的封闭图形的面积为________．
解析：由题意知该封闭图形的面积为 xdx＋ 1xdx＝712＋ln2；故填：
712＋ln2.
答案：712＋ln2
B组　能力突破
1．设f(x)＝
若f[f(1)]＝1，则a＝________.
解析：∵f(1)＝lg 1＝0，
∴f[f(1)]＝f(0)＝0＋ ＝a3，
∴a3＝1，得a＝1.
答案：1
2．(2012•上海)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B12，5、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．
解析：∵y＝f(x)
＝10x，0≤x≤12，－10x＋10，12＜x≤1.
∴xf(x)＝
10x2，0≤x≤12，－10x2＋10x，12＜x≤1，
∴所求面积为

答案：54
3．(2013•福建)当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：
1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝11－x.
两边同时积分得：
从而得到如下等式：
1×12＋12×122＋13×123＋…＋1n＋1×12n＋1＋…＝ln 2.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C0n×12＋12C1n×122＋13C2n×123＋…＋1n＋1n×12n＋1＝________.
解析：C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋nxn＝(1＋x)n，两边同时积分得： ，从而得到如下等式：C0n×12＋12C1n×122＋13C2n×123＋…＋1n＋1n×12n＋1＝1n＋132n＋1－1.
答案：1n＋132n＋1－1
4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)， f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析： f(x)dx＝ (ax2＋c)dx
＝ax33＋cx ＝a3＋c，
故a3＋c＝ax20＋c，即ax20＝a3，又a≠0，
所以x20＝13，又0≤x0≤1，所以x0＝33.
答案：33