参数方程检测题（带解析2015高考数学一轮）
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参数方程检测题（带解析2015高考数学一轮）
1．(2013•陕西)圆锥曲线x＝t2，y＝2t(t为参数)的焦点坐标是________．
解析：把参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
2．(2013•广东)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，故曲线C对应的参数方程可写为x＝1＋cos θ，y＝sin θ(θ为参数)．
答案：x＝1＋cos θy＝sin θ(θ为参数)
3．(2013•重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线x＝t2，y＝t3(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：极坐标方程ρcos θ＝4的普通方程为x＝4，
代入x＝t2，y＝t3，得t＝±2，
当t＝2时，y＝8；当t＝－2时，y＝－8.
两个交点坐标分别为(4,8)，(4，－8)．从而|AB|＝16.
答案：16
4．(2014•广东中山二模)在直角坐标系中，参数方程为x＝2＋32t，y＝12t(t为参数)的直线l被以原点为极点、x轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C所截，则所截得的弦长是________．
解析：由题意知，直线l的倾斜角为30°，并过点A(2,0)，曲线C是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，且圆C也过点A(2,0)，设直线l与圆C的另一个交点为B，在Rt△OAB中，|AB|＝2cos 30°＝3.
答案：3
5．(2014•湖南十二校第二次联考)设极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知直线l的极坐标方程为：ρsinθ－π3＝a，a∈R，圆C的参数方程是x＝23＋2cos θ，y＝2＋2sin θ(θ为参数)．若圆C关于直线l对称，则a＝________.
解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知直线l对应的直角坐标方程为3x－y＋2a＝0.由圆的参数方程可知圆心C的坐标为(23，2)，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心C，所以3×23－2＋2a＝0，解得a＝－2.
答案：－2
6．(2014•西安模拟)若直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)与直线l2：x＝s，y＝1－2s(s为参数)垂直，则k＝________.
解析：直线l1的方程为y＝－k2x＋4＋k2，斜率为－k2；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.∵l1与l2垂直，∴－k2×(－2)＝－1⇒k＝－1.
答案：－1
7．(2014•上海奉贤区模拟)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝________.
解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.
答案：4
8．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cos θ，y＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，求|AB|的最小值为________．
解析：消去参数θ，得到C1的普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝1，表示以(3,4)为圆心，以1为半径的圆；C2的直角坐标方程为x2＋y2＝1表示的是单位圆，|AB|的最小值为32＋42－1－1＝3.
答案：3
9．(2013•课标全国Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线C：x＝2cos t，y＝2sin t(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为x＝cos α＋cos 2α，y＝sin α＋sin 2α
(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
10．(2014•郑州模拟)已知曲线C：x＝33cos θ，y＝3sin θ(θ为参数)，直线l：ρ(cos θ－3sin θ)＝12.
(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．
解：(1)依题意可得直线l的直角坐标方程为x－3y－12＝0，曲线C的普通方程为x227＋y23＝1.
(2)设P(33cos θ，3sin θ)，
则点P到直线l的距离
d＝|33cos θ－3sin θ－12|2
＝6cosθ＋π6－122，
故当cosθ＋π6＝1时，dmin＝3.