直线的方程同步训练（有解析2015数学高考一轮）

详细内容

直线的方程同步训练（有解析2015数学高考一轮）

A组　基础演练
1．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为
(　　)
A.3x－3y＋6＋3＝0　　　B.3x－3y－6＋3＝0
C.3x＋3y＋6＋3 D.3x＋3y－6＋3＝0
答案：A
2．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为
(　　)
A．－32 B.32
C．3 D．－3
解析：过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y－13－1＝x－－10－－1，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－32，即为所求．
答案：A
3．(2014•北京丰台质检)直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是
(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为12b2|－b|＝14b2，且b≠0，14b2≤1，所以b2≤4，所以b∈[－2,0)∪(0,2]．
答案：C
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是
(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.
答案：D
5．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．
答案：45°或135°
6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
解析：设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，
∴k＝1＋1－2－1＝－23.
答案：－23
7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
解析：直线AB的方程为x3＋y4＝1，
设P(x，y)，则x＝3－34y，
∴xy＝3y－34y2＝34(－y2＋4y)
＝34－y－22＋4≤3.
即当P点坐标为32，2时，xy取最大值3.
答案：3
8．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为16.
解：(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)4k＋3＝±6，
解得k1＝－23或k2＝－83.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝16x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b•b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
9．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α与斜率k的范围．
解：法一：如图所示，

kPA＝－2－－11－0＝－1，
kPB＝1－－12－0＝1，
由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是[135°，180°)∪[0°，45°]；
直线l的斜率k的范围是[－1,1]．
法二：设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＋1＝kx，
即kx－y－1＝0.
∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．
∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.
∴－1≤k≤1.
∴直线l的倾斜角α的范围是[135°，180°)∪[0°，45°]；
直线l的斜率k的范围是[－1,1]．
B组　能力突破
1．(2014•山东济宁二模)直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是
(　　)
A．0≤α＜π B．0≤α≤π4或π2＜α＜π
C．0≤α≤π4 D.π4≤α＜π2或π2＜α＜π
解析：直线l的斜率为k＝m2－11－2＝1－m2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4，故选B.
答案：B
2．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是
(　　)

解析：l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a.
于是可知，l1的斜率是l2的纵截距，l1的纵截距是l2的斜率．在选项A中，l1的纵截距为正，而l2的斜率为负，不合题意，排除A.同样可排除选项C、D，故选B.
答案：B
3．经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程是________．
解析：当截距不等于零时，
设l的方程为xa＋y2a＝1，
又点P在l上，∴2a－12a＝1，则a＝32，
∴l的方程为2x＋y＝3.
当截距等于零时，设l的方程为y＝kx，
又点P在l上，
∴k＝－12，∴x＋2y＝0.
答案：2x＋y＝3或x＋2y＝0
4．已知直线l过点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0分别交于点A，B(如图)．若线段AB被点P平分，求直线l的方程．

解：∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，
故可设点B的坐标为(a,8－2a)．
∵P(0,1)是线段AB的中点，
得点A的坐标为(－a,2a－6)．
又∵点A在直线l1：x－3y＋10＝0上，
故将A(－a,2a－6)代入直线l1的方程，
得－a－3(3a－6)＋10＝0，
解得a＝4.
∴点B的坐标是(4,0)．
因此，过P(0,1)，B(4,0)的直线l的方程为x4＋y1＝1，即x＋4y－4＝0.