数列的概念与简单表示法复习测试（附解析2015高考数学一轮）
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数列的概念与简单表示法复习测试（附解析2015高考数学一轮）
A组 基础演练
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为
( )
A．15 B．16
C．49 D．64
解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：A
2．(2013•四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于
( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
解析：当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝1n＝1，3×4n－2n≥2.
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
答案：A
3．(2014•山东济南一模)已知数列{an}的通项公式为an＝49n－1－23n－1，则数列{an}
( )
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
解析：∵数列{an}的通项公式为an＝49n－1－23n－1，∴an－an－1＝49n－1－23n－1－49n－2＋23n－2＝－5949n－2＋1323n－2.
∴数列先增后减，故有最大项和最小项．
答案：C
4．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的
( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即知：an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
答案：B
5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________.
答案：an＝2n－11
6．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，a36＝________.
解析：∵ap＋q＝ap＋aq，
∴a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4
＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4.
答案：4
7．已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________.
解析：由an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，得an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，…，a3－a2＝5，a2－a1＝3，将以上各式相加，得an－a1＝3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)，即an＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1＋1＋2n－1n2＝n2＋1.
答案：n2＋1
8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．
故数列从第7项起各项都是正数．
9．已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11 000？
解：(1)an＝anan－1•an－1an－2•…•a3a2•a2a1•a1＝12n－1•12n－2•…•122•121＝121＋2＋…＋(n－1)＝12n－1n2，
∴an＝12nn－12.
(2)当n≤4时，n－1n2≤6，an＝12n－1n2≥164，
当n≥5时，n－1n2≥10, an＝12n－1n2≤11 024.
∴从第5项开始各项均小于11 000.
B组 能力突破
1．(2014•天津一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足ann≤2的正整数n的集合为
( )
A．{1,2} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3} D．{1,2,4}
解析：因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.而ann≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.
答案：B
2．(2014•山东名校联考信息优化卷)如图，将等差数列{an}的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形顶点所填的三项也成等差数列，数列{an}的前2 013项和S2 013＝4 024，则满足nan＞ann的n的值为
( )
A．2 012 B．4 024
C．2 D．3
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a2，a3，a5成等差数列得2a3＝a2＋a5，即2(a1＋2d)＝(a1＋d)＋(a1＋4d)，有d＝0，于是an＝a1，由S2 013＝4 026得2 013a1＝4 026，有a1＝2，即an＝2，由nan＞ann得n2＞2n，结合函数y＝2x与y＝x2的图象知n＝3.
答案：D
3．(2014•临沂重点中学联考)设Sn为数列{an}的前n项和，若S2nSn(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{}是“和等比数列”，则d＝________.
解析：由题意可知，数列{}的前n项和为Sn＝nc1＋2，前2n项和为S2n＝2nc1＋c2n2，所以S2nSn＝2nc1＋c2n2nc1＋2＝2＋2nd4＋nd－d＝2＋21＋4－dnd.因为数列{}是“和等比数列”，即S2nSn为非零常数，所以d＝4.
答案：4
4．(2014•山东日照二模)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)记bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
∴数列{bn}是首项b1＝a－3，公比为2的等比数列．因此，所求通项公式为
bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－212•32n－2＋a－3，
当n≥2时，
∵an＋1≥an，∴12•32n－2＋a－3≥0，
∴a≥－9.
又a2＝a1＋3＞a1，
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．