二项式定理复习测试题（附解析2015数学高考一轮）
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二项式定理复习测试题（附解析2015数学高考一轮）
A组 基础演练
1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于
( )
A．80 B．40
C．20 D．10
解析：Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，
当r＝2时，T3＝40x2.
答案：B
2．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于
( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C5n(3x)5＝C5n35x5，展开式中含x6的项为C6n36x6，由两项的系数相等得C5n•35＝C6n•36，解得n＝7.
答案：B
3．(2013•辽宁)使3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为
( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：Tr＋1＝Crn(3x)n－r•x ＝Crn•3n－r•xn ＝Crn•3n－r•xn (r＝0,1,2，…，n)，
若Tr＋1是常数项，则有n ＝0，即2n＝5r(r＝0,1，…，n)，当r＝0,1时，n＝0，52，不满足条件；当r＝2时，n＝5，故选B.
答案：B
4．(2013•课标全国Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝
( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以13Cm2m＝7Cm2m＋1，∴13•2m！m！•m！＝7•2m＋1！m！•m＋1！，
∴72m＋1m＋1＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.
答案：B
5．若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
答案：1
6．(2014•四川成都质检)二项式x＋2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．
解析：因为x＋2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n＝10，Tr＋1＝Cr10•(x)10－r•2x2r＝2rCr10•x5－52r，令5－52r＝0，则r＝2，T3＝4C210＝180.
答案：180
7．(2013•天津)x－1x6的二项展开式中的常数项为________．
解析：通项Tr＋1＝Cr6•x6－r•(－1)r•(x－12)r＝(－1)r•Cr6x6－3r2，令6－32r＝0，得r＝4，所以常数项为(－1)4•C46＝15.
答案：15
8．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1 093.
(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
9．已知12＋2xn，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)∵C4n＋C6n＝2C5n，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C3712423＝352，
T5的系数为C4712324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C71412727＝3 432.
(2)∵C0n＋C1n＋C2n＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵12＋2x12＝12121＋4x12，
∴Ck124k≥Ck－1124k－1，Ck124k≥Ck＋1124k＋1.
∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C1012•122•210•x10＝16 896x10.
B组 能力突破
1．(2013•课标全国Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝
( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5•xr，所得当r＝2时，(1＋ax)•(1＋x)5的展开式中x2的系数为C25，当r＝1时，x2的系数为C15•a，所以C25＋C15•a＝5，a＝－1，故选D.
答案：D
2．(2013•陕西)设函数f(x)＝x－1x6， x＜0，－x， x≥0，则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为
( )
A．－20 B．20
C．－15 D．15
解析：x＞0时，f(x)＝－x＜0，故f[f(x)]＝－x＋1x6，其展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6•(－x)6－r•1xr＝(－1)6－r•Cr6•(x)6－2r，由6－2r＝0得r＝3，故常数项为(－1)3•C36＝－20.
答案：A
3．(2014•宁夏银川调研)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________.
解析：原等式两边求导得5(2x－3)4•(2x－3)′＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令上式中x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.
答案：10
4．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：(1)通项为
Tr＋1＝Crnx (－12)rx ＝Crn(－12)rx .
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.
(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，
∴所求的系数为C210(－12)2＝454.
(3)根据通项公式，由题意10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈N.
令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.
∵r∈N，∴k应为偶数．
∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.
将r的值代入通项公式，列出所有有理项即：454x2，－638，45256x－2.