高一数学下册对数函数的性质的应用过关检测试题及答案
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训练21 对数函数的性质的应用
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1.已知f(x)= (2x+1)在(- ,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( )
A.a>1 B.0
解析：∵-
A.log3 B.
C. D.2
答案：C
解析：f(9)=2 loga9=2,a=3.
令logax=log92,则x= .
3.已知f(x5)=lgx,则f(2)等于( )
A.lg2 B.lg32 C.lg D. lg2
答案：D
解析：令t=x5,则x= ,由f(x5)=lgx,
有f(t)=lg = lgt,
∴f(2)= lg2.
4.不等式loga(x2-2x+3)≤-1在x∈R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.［2,+∞) B.(1,2]
C.［ ,1) D.(0, )
答案：C
解析：x2-2x+3=(x-1)2+2>2.
又loga(x2-2x+3)≤-1,
∴0
5.函数y=logax的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位后所得图象过点(2,2),则a=___________.
答案：3
解析：依题意知y=loga(x+1)+1过点(2,2),
∴2=loga3+1,
即loga3=1.∴a=3.
6.设函数f(x)= 则满足f(x)= 的x值为_________________.
答案：3
解析：当x≤1时,2-x=( )x≥ .
当x>1时,log81x>0,
所以log81x= ,x= =3.
7.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)当x为何值时,函数值大于1;
(3)讨论f(x)的单调性;
(4)解方程f(2x)=f-1(x).
解：(1)∵a>1,由ax-1>0,得x>0.
∴f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)由loga(ax-1)>1,
故当a>1时,x>loga(a+1),
即当x>loga(a+1)时,f(x)>1.
(3)当a>1时,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.
(4)由y=loga(ax-1)(a>1)得其反函数为f-1(x)=loga(ax+1).
∴loga(ax+1)=loga(a2x-1).
∵对数函数在整个定义域上是单调的,
∴有ax+1=a2x-1. ∴(ax-2)(ax+1)=0.
∴ax=2,ax=-1(舍去).
∴x=loga2.
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8.下面结论中,不正确的是( )
A.若0
B.函数y=3x与y=log3x的图象关于y=x对称
C.函数y=logax2与y=2logax表示同一函数
D.若a∈(0,1),则y=logax与y=ax在定义域内均为减函数
答案：C
解析：∵y=logax2=2loga|x|=
∴与y=2logax不表示同一函数.
注意:此题也可以从定义域或者图象等方面考虑两函数是否为同一函数.
9.函数y=log0.5(x2-3x+2)的递增区间是( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(-∞, ) D.( ,+∞)
答案：A
解析：∵x2-3x+2>0,
∴x∈(-∞,1)∪(2,+∞).
根据复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上是增函数,在(2,+∞)上是减函数.
10.若y=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,0)上有f(x)≤0,则a的取值范围是_____________.
答案：a>1
解析：∵x∈(-1,0］,
∴x+1∈(0,1］,
即y=loga(x+1)在x+1∈(0,1)上f(x)≤0.
∴a>1.
11.函数y=( x)2- +5在区间［2,4］上的最小值是_______________.
答案：
解析：y=( x)2- x+5.
令t= x(2≤x≤4),
则-1≤t≤- 且y=t2-t+5.
∴当t=- 时,ymin= + +5= .
12.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1),
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的范围.
解：(1)若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,即 解得a>1.
(2)若f(x)的值域为R,则ax2+2x+1能取一切正数.
∴a=0或
解得0≤a≤1.
13.已知f(ex)=x2-2x+3,x∈［2,3］.
(1)求f(x)的解析式及定义域;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解：(1)设ex=t,则x=lnt,代入得
f(t)=ln2t-2lnt+3,
∴f(x)=ln2x-2lnx+3.
∵2≤x≤3,∴e2≤t=ex≤e3.
∴f(x)的定义域是［e2,e3］.
(2)∵f(x)=(lnx-1)2+2,在［e2,e3］上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(e2)=3,
最大值是f(e3)=6.
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14.下列各函数中,在(0,2)上为增函数的是…( )
A.y= (x+1) B.y=log2
C.y=log3 D.y= (x2-4x+5)
答案：D
解析：设t=x2-4x+5=(x-2)2+1.
则y= t.
由函数t=x2-4x+5在(0,2)上递减,
∴函数y= (x2-4x+5)在(0,2)上递增,
15.已知函数y=loga(x-ka)+loga(x2-a2)的定义域为(a,+∞),则实数k的取值范围是____________.
答案：［-1,1］
解析：函数定义域由
得 即-1≤k≤1才使定义域为(a,+∞).
16.已知函数f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1),且f(x2+4x+8)>f(-π).
(1)写出函数f(x)的单调区间,并加以证明;
(2)若方程4a-m•2a+1+5=0有两个不相等的实根,求m的取值范围.
解：(1)由|x|>0,知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
对定义域内的任一x,都有f(-x)=loga|-x|=loga|x|=f(x).
∴π,-π在定义域内.
∴f(-π)=f(π).
又x2+4x+8=(x+2)2+4≥4>π>0,
且f(x2+4x+8)>f(-π)=f(π),
则a>1.KS%5U
∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数.
(2)令2a=t,因为a>1,所以t>2.则方程4a-m•2a+1+5=0可化为g(t)=t2-2mt+5=0.
依题意t2-2mt+5=0有两个不等且大于2的实根,
则有(-2m)2-20>0,且 >2.
又由g(2)>0,解得