南宫中学2010――2011学年第二学期5月份月考数学（理）试题及答案
详细内容
南宫中学2010――2011学年第二学期5月份月考数学（理）试题
（共2页，满分150分）
一、选择题：（每题5分，共60分）
1．方程 表示圆 的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2..过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为（ ）
A．(x－3)2+(y+1)2=4 B ．(x－1)2+(y－1)2=4
C．(x+3)2+(y－1)2=4 D．(x+1)2+(y+1)2=4
3..直线 的方程 的斜率和它在 轴与 轴上的截距分别为( )
A B C D
4.若实数x、y满足等式 ，那么 的最大值为( )
A. ? Ｂ. Ｃ. ?Ｄ.
5.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r的范围 是（ ）
A.0
A、-1 B、1 C、 D、
7.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的 ，
则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是（ ）
A． B． C． D．
9.一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm），
则此几何体的表面积是
A． cm B. 96 cm
C. cm D. 112 cm
10.若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上 、下两部分面积之比为（ ）
A．3∶5 B．9∶25
C．5∶ D．7∶9
11.一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所 成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ）
A．40 B． C． D．30
12.正三棱锥 的侧棱长和底面边长相等， 如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为 （ ）
A． B． C． D．
二填空题：（每题5分，共20分）
13求圆 上的点到直线 的距离的最小值 ．
14.无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，则定点的坐标 为
15.正四棱台上、下底面的边长为b、a（a＞b）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．
16、有以下四个命题：
①对于任意 不为零的实数 ，有ba＋ab≥2；
②设 是等差数列 的前 项和，若 为一个确定的常数，则 也是一个确定的常数；
③关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为 ；
④对于任意实数 ， ．
其中正确命题的是_______________（把正确的答案题号填在横线上）
三：解答题：（17题10分，18-22每题12分）
17.如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右面画出（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
18.已知圆x2＋y2＋x－6y＋3=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q，求以PQ
为直径的圆的方程．
19.已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，
求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹
20. (普通班做)如图6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
20. (实验班做)如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ∥ ， ，
⊥底面 ，且 ，M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ) 求证： ；
(Ⅱ) 求 与平面 所成的角。
21. (普通班做) 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，D为BC的中点．
（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；
（2）若三棱锥 的体积为 ，且 为
钝角，求二面角 的平面角的正切值；
（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离．
21．(实验班做) 如图在三棱柱ABC- 中，已知底面ABC是底角等于 ，底边AC= 的等腰三角形，且 ，面 与面ABC成 ， 与 交于点E。
求证： ；
求异面直线AC与 的距离；
求三棱锥 的体积。
22. (普通班做)已知直线 :y=k (x+2 )与圆O: 相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S.
（1）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值.
22.(实验班做)设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长 之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程．
高一数学答案
（Ⅱ）所求多面体体积
．
18.解法1：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点P、Q的坐标满足方程组
x2+y2+x-6y+3=0，x+2y－3=0，
x1=1，x2=-3，
解方程组，得
y1=1，y2=3，
即点P（1，1），Q（－3，3）∴线段PQ的中点坐标为（－1，2）
|PQ|= =2 ，故以PQ为直径的圆的方程是：
（x+1）2+（y－2）2=5
解法2：设所求圆的方程为x2+y2+x－6y+3+λ（x+2y－3）=0 ，
整理，得：x2+y2+（1+λ）x+（2λ－ 6）y+3－3λ=0，
此圆的圆心坐标是：（－ ，3-λ）， 由圆心在直线x+2y－3=0上，得
－ +2（3－λ）－3=0 解得λ=1
故所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y=0.
19.解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点， 则点M的轨迹就是集合
P ．
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，
平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．
由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以
， ．所以有 ， ①
由（1）题知，M是圆 上的点，
所以M坐标（x1，y1）满足： ②
将①代入②整理，得 ．
所以N的轨迹是以 （1，0）为圆心，以2为半径的圆
20普通班：（1）证明:连结BD.
在长方体 中，对角线 .
又 E、F为棱AD、AB的中点，
. .
又B1D1 平面 ， 平面 ，
EF∥平面CB1D1.
（2） 在长方体 中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1 平面A1B1C1D1，
AA1⊥B1D1.
又 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
B1D1⊥平面CAA1C1.
又 B1D1 平面CB1D1， 平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
实验班：解：（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB, 所以AN⊥PB.
因为AD⊥面PAB, 所以AD⊥PB.
从而PB⊥平面ADMN.
所以PB⊥DM. ……6分
（Ⅱ）连结DN，
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BDN是B D与平面ADMN所成的角.
在 中,
故BD与平面ADMN所成的角是 . ……12分
21普通班：解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；
（2）设 ，则
解得 ，所以 （舍）， ．
平面ABC，AB=AC，D为BC的中点
，
则 是二面角S―BC―A的平面角．
在 中， ,
故二面角的正切值为４；（9分）
（3）由（2）知， 平面SDA，所以平面SBC 平面SDA，过点A作AE SD，则AE 平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,
从而 即A到平面SBC的距离为 ．
实验 班：①证：取AC中点D，连ED，
//
又 是底角等于 的等腰 ，
②解：由①知
在 是异面直线AC与 的距离，为
③连
22.. 普通班：【解】：:如图,
(1)直线 议程
原点O到 的距离为
弦长
ABO面积
(2) 令
当t= 时, 时,
又解:△ABO面积S=
此时
即
22.
实验班：解:设圆的圆心为P(a,b),半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为｜b｜、｜a｜，由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P截x轴所得弦长为 r=2b.
∴r2=2b2 ①又由y轴截圆得弦长为2，∴r2=a2+1 ②
由①、②知2b2－a2=1.又圆心到l:x－2y=0的距离d= ,∴5d2=(a－2b)2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1.当且仅当a=b时“=”号成立，
∴当a=b时，d最小为 ，由 得 或 由①得r= .
∴(x－1) 2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2为所求．