§3.2.3利用向量解决平行与垂直问题

详细内容

§3.2.3利用向量解决平行与垂直问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.
【教学目标】：
（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
向量法与坐标法.
【教学难点】：
立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.
2．平行与垂直关系的向量表示。为学习新知识做准备.
二、探究新知
一、用向量处理平行问题


分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量 用向量 线性表示出来。

评注：
向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使
p=xa+yb.
利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
本题用的就是向量法。

（图略）
分析：面面平行 线面平行 线线平行。

评注：
由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。
本题选用了坐标法。
思考：
一般应如何建立空间直角坐标系？
二、用向量处理垂直问题

（图略）
分析：线面垂直 线线垂直。

评注：
本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，
或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。

例4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
已知：如图,OB是平面 的斜线，O为斜足， ，A为垂足，
求证：
证明：

例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。

联系共线向量来理解。

例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。

例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。

让学生体会坐标法的优势。

用向量法证明三垂线定理。

三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题：
向量法：


所以，结论成立。

坐标法：
证明：（图略）

巩固知识，培养技能.
四、小结利用向量解决平行与垂直问题
1．向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。
2．坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。反思归纳
五、作业1，直三棱柱 中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝ ，侧棱 =1，侧面 的两条对角线交点为D， 的中点为M，求证CD平面BDM。
2，课本p111第1、3题。

练习与测试：
（基础题）
1，直三棱柱ABC―A1B1C1中，若 ， 则 　　　　　　　　　　 （　 ）
　　　 A． + － 　　　　 B． － + 　　 C．－ + + 　　 D．－ + －
答：D
2，若向量 、 　　　　　　　 （　 ）
　　　 A． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．
　　　 C． 　　　　 D．以上三种情况都可能
答：B

3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．
证明： . 又 ，
即 .……①　　　 .
　　　　 又 ， 即 .……②　
　　　　 由①+②得： 即 . .
4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
　 （1）求证：EF∥平面PAD；
　 （2）求证：EF⊥CD；
证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
　　　　 D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)　
∵ E为AB的中点，F为PC的中点　　　　　　　　　　
　　　　 ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c)
(1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
　　　　 ∴ ＝(＋) ∴ 与、共面
　　　　 又∵ E Ï 平面PAD　　　
∴ EF∥平面PAD．
(2)∵＝(-2a, 0, 0 )　　　
∴ •＝(-2a, 0, 0)•(0, b, c)＝0　　　　　　　　
∴ CD⊥EF．

（较难题）
5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。
分析 要证明EF、BC、AD平行于同一平面 D F
（E、F分别为AB、CD的中点），只要证明相应 A E C
向量EF与AD、BC共面即可。 B
证明：如图，利用多边形加法法则可得， = + + ， = + + …①。
又E、F分别是AB、CD的中点，故有 =- ， =- …②
将②代入①后，两式相加得
2 = + ，∴ =12 +12 即 与 、 共面，∴EF与AD、BC平行于同一平面。
注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。
6，如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。
证明：在α内作不共线向量m,n b
∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn。 a
两边同乘a得a•b=x•a•a+y•a•m+z•a•n m
∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a•b=0,a•m=0,a•n=0 n
得x•a•a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn
∴b、m、n为共面向量，又b￠α,b∥α。
7，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E=2EB，CF=2AF，
求证：EF∥平面A1B1CD。 D1 C1
证明： = + + …（1）
= 1+ + + …（2） A1 B1
（1）×2+（2）并注意到 =-2 ， D C
=-2 ， =- ， F E
得 =13 -13 A B
而EF￠平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD。
∴ ， 、 为共面向量。