正弦、余弦函数典型例题

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正弦、余弦例题分析
例1.△ABC中已知a = 6， ，A=30°，求c．
我们熟知用正弦定理可得两解．其实用余弦定理也可：
由 得c的二次方程c2－18c＋72 = 0
解得c1=12或c2=6．

例2. 如图5―43四边形ABCD中,AB = 3，AD = 2内角A = 60°、B = D = 90°．求对角线AC．
由于含AC的两三角形都只有2个条件，不能直接求解，容易想到以下解法：
(1) 设多个未知数，建立方程组求解．如设BC = x，CD = y，则有
AC2 = 9＋x2 = 4＋y2，… ①

即有 9＋4－6 = x2＋y2＋xy … ②
联立①、②解出 ， ．
∴
(2) 引入角未知数∠BAC = θ．则∠DAC = 60°－θ．
即有关于θ的方程

即 3cos (60°－θ) = 2 cos θ
求出 ,
∴
但若洞察图形的几何特征，则有巧法．
(3) A、B、C、D四点共圆：且AC为该圆直径．
则由余弦定理求出
，再由正弦定理， ．
(4) 延长AB、DC交于E如图5―44．则易知，AE = 4，BE = 1，
立即可得 ．
本例凸显几何直觉的价值．

例3.若一扇形半径为R，中心角为2α，这里 ，求此扇形图示这种内接矩形ABCD的最大面积．
依题意OB = OE = R ，∠AOE =∠DOE = α，要求其最大值的矩形面积S = AB•BC，关键在选择适当变元来表示AB•BC，由BC = 2BF．我们选x =∠BOE为变元，
立即有BC = 2R sin x，∠AOB = α－x，∠OAB = π－α，在△OAB内由正弦定理得

于是
积化和差得
∴ 当 时,S有最大值： ．