§2.3.2抛物线的几何性质（１）

详细内容

§2.3.2 抛物线的几何性质（１）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
【教学难点】：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图

一、复习引入

1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．
解：焦点在x轴负半轴上， =2，所以所求抛物线的标准方程是
2.填空：动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．
3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容：

通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的兴趣。
二、抛物线的几何性质类比研究归纳抛物线的几何性质：

引导学生填写表格。通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。
三、例题讲解例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2 ），求这条抛物线的准线方程。
解：⑴若抛物线开口向右，
设抛物线的标准方程为
　　　∵
∴ 　　　　　　　
　　　∴抛物线的标准方程为
⑵若抛物线开口向上，
设抛物线的标准方程为
　　　∵
∴ 　　　　　　　
　　　∴抛物线的标准方程为

例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？
让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， 轴垂直于灯口直径．
　　抛物线的标准方程为 ，由已知条件可得点 的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得： ，
所以所求抛物线的标准方程为 ，焦点坐标是 .

例3 过抛物线 的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线 引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，
因而圆E和准线 相切．

运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

四、巩固练习1．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 =（ B ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知 为抛物线 上一动点， 为抛物线的焦点，定点 ，则 的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若线段 、 的长分别是 、 ，则 =（ C ）
（A） （B） （C） （D）
4．过抛物线 焦点 的直线 它交于 、 两点，则弦 的中点的轨迹方程是
5.定长为 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动，求 中点 到 轴距离的最小值，并求出此时 中点 的坐标
（答案： , M到 轴距离的最小值为 ）

6. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。

由学生演板．
五、课后练习1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于　　　　　　　

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

4．以椭圆 的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

6．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。

习题答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°　　　3．x2＝±16 y　　　4．
5． 米　　　6．y2=4x, m= 或
课后练习注意分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。

练习与测试：
1.求适合下列条件的抛物线的方程：
（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；
（2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。
2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（ ）。
（A）x0+8 （B） x0 -8 （C）8- x0 （D） x0 +16
3. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度。
4. 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程．
解：由题意，可设抛物线方程为 ，因为它过点 ，
所以 ，即
因此，所求的抛物线方程为 ．

5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是 (p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得 ，
即
所求的抛物线标准方程为 ．