高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课

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高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课

一 、定义法（最短路径）
对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.
例1：已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。:
分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点P到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值. 由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。
O
F(1,0) x
A(3,1)
y
Q P
解： 如图， , 焦点F(1,0) 。 由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. .

由 , 得为所求点.



若另取一点 ， 显然 。
[点悟]：解此类最值问题时，首先注意圆锥曲线定义的转化应用，其次是平面几何知识的应用，例如两点之间的线段最短，三角形中的三边之间的不等关系，点与直线上的点的连线的中垂线段最短等.
二 、参数法
利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
例2、已知椭圆 ，直线l： , 椭圆上有一动点p, 求p到直到直线的最小距离.
分析：写出椭圆参数方程 ，设切点为 ，然后代入点到直线的距离公式，结合三角函数的最值判断距离的最值.
解： 由题意可设动点的坐标为，
则点P到直线l的距离为
[点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。
三 、二次函数法
将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解.
分析：求出椭圆的焦点，代入所求的表达式中，整理得出函数的表达式，再利用函数方法求解。
解：易知 ，所以 设
因为 ，所以x=0, 即点P为短轴的端点时， 有最小值 -2.
当
[点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。
四 、数形结合
在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。
例4：若实数 .
分析：看似是函数求最值，如果做起来实在是不容易，如果考虑到x,y的几何意义，那么问题就简单的多了
解
则 ，
即 表示中心在
顶点坐标
的最大值
即是求表示椭圆上的点到C（-1，0）的距离的平方的最大值减1
所以
[点悟] ：在解决求值问题时，应先从几何直观图形出发，根据图形的几何性质洞察最值出现的位置，再从代数运算入手，最终求的最值.
五、不等式法
列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。
例5 抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
分析 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本例主要涉及弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.

解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0
由方程组 ,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1・x2=m2,
∴|MN|=4
点A到直线l的距离为d=
∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)・(5+m)(5+m)≤2( )3=128
∴S△≤8 ,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8