组合数的两个性质

详细内容

组合数的两个性质
教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；
掌握组合数的两个性质，
并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
定 义特 点相同公 式
排 列
组 合

强调：排列――次序性；组合――无序性．
2．练习
1：求证： ． （本式也可变形为： ）
2：计算：① 和 ； ② 与 ；③
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）
二、新授内容：
1．组合数的 性质1： ．
理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n  m个元素．因
为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n  m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n  m个元素的组合数，即： ．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．
证明：∵
又 ∴
注：1 我们规定
2 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3 此性质作用：当 时，计算 可变为计算 ，能够使运算简化．
例如： ＝ ＝ =2002．
4 或
2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴ ⑵ ⑶
引导学生发现： ．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
一般地，从 这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素 ，一类不含有 ．含有 的组合是从 这n个元素中取出m 1个元素与 组成的，共有 个；不含有 的组合是从 这n个元素中取出m个元素组成的，共有 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3．组合数的 性质2： ＝ + ．
证明：




∴ ＝ + ．
注：1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
4．补充例题
⑴ 计算：
⑵ 求证： ＝ + +
⑶ 解方程：
⑷ 解方程：
⑸ 计算： 和
推广：
5．组合数性质的简单应用：
证明下列等式成立：
⑴ （讲解）
⑵ （练习）
⑶
三、作业： 课堂作业：P103 1#，2#
课外作业：课本习题10.3；5#―8#

四、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．