归纳法证明不等式1

详细内容

选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名
☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2. 会运用数学归纳法证明不等式
重点：应用数学归纳法证明不等式.
☻知识情景：
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n取 时命题 ( 即n＝ 时命题成立) (归纳奠基） ；
20. 假设当 时命题成立，证明当n=k＋1时命题 (归纳递推）.
30. 由10、20知，对于一切n≥ 的自然数n命题 ！(结论）
要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .

☆数学归纳法的应用：
例1. 用数学归纳法证明不等式 .

例2已知x> -1，且x¹0，nÎN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.

例3 证明: 如果 为正整数)个正数 的乘积 ,
那么它们的和 .

例4 证明:

例5.当 时,求证:

选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式（1） 姓名
1、已知f(n)=(2n+7)•3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的
值为( )
A.30B.26C.36D.6
2、.观察下列式子：
…则可归纳出____ _____.
3、已知 , , 则 的值分别为_____ ____，由此猜想
_________.
4、用数学归纳法证明: 能被8整除.


5、用数学归纳法证明

6、.用数学归纳法证明4 +3n+2能被13整除，其中n∈N

7、求证：

8、已知， ， 用数学归纳法证明：


9、.求证：用数学归纳法证明 ．

答案:
1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n取第一个值时命题成立( 即n＝ 时命题成立) (归纳奠基） ；
20. 假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.
30. 由10、20知，对于一切n≥ 的自然数n命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例1 ⑴当 时,上式左边 右边,不等式成立.
⑵设当 时,不等式成立,即有 .
那么,当 时,
=
例2 证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x¹0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立
（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n=k+1时，因为x> -1 ，所以1+x>0，于是
左边=(1+x)k+1 右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
例3 证明:⑴当 时,有 ，命题成立.
⑵设当 时，命题成立，即若 个正数 的乘积 ,
那么它们的和 .
那么当 时,已知 个正数 满足 .
若 个正数 都相等,则它们都是1.其和为 ,命题成立.
若这 个正数 不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数
(否则与 矛盾).不妨设 .
例4证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.
(2)假设n=k( )时命题成立,即
则当n=k+1时,

即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.
例5（1）


练习
1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)•3k+1?－(2k+7)•3k
=(6k+27)•3k－(2k+7)•3k
=(4k+20)•3k=36(k+5)•3k－2?(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C
2、解析：

(n∈N*)
(n∈N*)

、 、 、
4、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.
(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数.
那么:
因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.
5．证明： 1当n=1时，左边=1- = ，右边= = ，所以等式成立。
2假设当n=k时，等式成立，
即 。
那么，当n=k+1时，




这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n都成立。
6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1•42+3k+2•3－42k+1•3+42k+1•3
=42k+1•13+3•(42k+1+3k+2?)
∵42k+1•13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
7．证明：（1）当n=2时，右边= ，不等式成立．
（2）假设当 时命题成立，即 ．
则当 时，　
　
所以则当 时，不等式也成立．
　　　由（1），（2）可知，原不等式对一切 均成立．
8. 证明：
（1）当n=2时， ，∴命题成立．
（2）假设当 时命题成立，即 ．
则当 时，　

　
所以则当 时，不等式也成立．
　　　由（1），（2）可知，原不等式对一切 均成立．
9、证明：（1） 当n=1时， ，不等式成立；
当n=2时， ，不等式成立；
当n=3时， ，不等式成立．
（2）假设当 时不等式成立，即 ．
则当 时，　 ，
∵ ，∴ ，（*）
从而 ，
∴ ．
即当 时，不等式也成立．
　由（1），（2）可知， 对一切 都成立．