2015中考数学一轮复习反比例函数的图像与性质学案
详细内容
第11课时 反比例函数的图像与性质
【复习目标】
1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式。
2．能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式y＝ （k≠0）探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况．
3．理解反比例函数的性质，能利用性质解题．
4．会用待定系数法求反比例函数的解 析式；能综合利用一次函数与反比例函数的性质解题．
【知识梳理】
1．反比例函数的定义：
一般地，形如y＝ （k为常数，k_______0）的函数叫做反比例函数．
2．反比例函数的性质：
反 比例函数y＝ （ k≠0）的图象是_______．当k>0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______；当k<0时，两分支分别位于第 _______象 限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______．
3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是_______．
4．在双曲线y＝ 上任取一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______．
5．因为在反比例函数的关系式y＝ （k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y 的值或图象上任意一点的坐标，然后代入y＝ 中即 可求出_______的值，进而确定出反比例函 数的关系式．
【考点例析】
考点一 判断点是否在反比例函数的图象上
例1下列各点中，在反比例函数y＝ 的图象上的是 ( )
A．(－2，－3) B．（－3，2）
C．(3，－2) D．（6，－1）
提示 只要计算出四个选项中哪个点的横、纵坐标的积等于6即可．
考点二 反比例函数的图象与性质
例2已知反比例函数y＝ 的图象如图所示，则实数m的取值范围是 ( )
A．m>1 B．m>0
C．m<1 D．m<0
提示 根据反比例函数的图象经过第一、三象限得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
例3反比例函数y＝ 的图象上的两点为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1
提示 因为k＝2，所以在每一象限内，y随x的增大而减小，因为本题不能确定x1，x2的正负性，所以不 能判断这两点是否在双曲线的同一个分支上，也就不能单凭x1
例4已知反比例函数y＝ 的图象经过点（1，－2），则k的值为 ( )
A．2 B． － C．1 D．－2
提示 由反比例函数y＝ 的图象经过点（1，－2），表明在解析式y＝ 中，当x ＝1时，y＝ －2，代入k＝xy中求出k的值即可．
例5已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线y＝ （k≠0）的一个交点坐标为(2，6)，则它们的另一个交点坐标是 ( )
A．（－2，6） B．（－6，－2）
C．（－2，－6） D．(6，2)
提示 因为直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝ （k≠0 ）均关于原点对称，得到两个交点关于原点对称，从而得到另一个交点的坐标．
考点四 反比例函数y＝ （k≠0）中k的几何意义
例6 如图， 点A在双曲线y＝ 上，点B在双曲线y＝ 上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为_______．
提示 根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系：S＝ ，即可计算出矩形ABCD的面积．
考点五 反比例函数图象中的几何图形的面积
例7如图，两个反比例函数y＝ 和y＝－ 的图象分别是l1和l2．设点P在l1上．PC⊥x轴，垂足为C，交 l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为 ( )
A．3 B．4 C． D．5
提示 本题可结合反比例函数的图象表示出点P、A、B的坐标，再根据直角三角形的面积公式求出结果．
考点六 反比例函数与一次函数的综合运用
例8一次函数y＝x＋m(m ≠0)与反比例函数y＝ 的图象在同一平面直角坐标系中可能是 ( )
提示 根据一次函数图象的性质，一次函数y＝x＋m的图象从左往右逐渐上升，从而可排除选项B、D；再根据反比例函数的性质对m>0、m<0分类讨论．
例9 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A(2，1)、B（－1，－2）两点，与x轴交于点C．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接OA，求△AOC的面积．
提示 (1)由一次函数与反比例函数的图象相交于A(2，1)、B（－1 ，－2）两点可知，利用待定系数法能求出相应的解析式；(2)求出点C的坐标，根据三角形 的面积公式即可求出△AOC的面积．
【反馈练习】
1．若反比例函数y＝ 的图象经过点 (－1，－2)，则k的值是 ( )
A．2 B．－2 C．－3 D．3
2．已知A（－1，y1）、B（2，y2）两点都在双曲线y＝ 上，且y1>y2，则m的取值范围是 ( )
A．m<0 B．m>0 C．m>－ D．m<－
3．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝ 的图象经过点A，则k的值是 ( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
4．当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y＝ 在同一坐标系中的图象可能是 ( )
5．已知反比例函数的图象经过点(m，2)和（－2，3），则m的值为_______．
6．如图，双曲线y＝ （k≠0）上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的解析式为_______．
7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于A．B两点，与反比例函数y＝ 的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D．若OB＝2，OD＝4，△AOB的面积为1．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直 接写出当x<0时，kx＋b－ >0的解集．