直线的参数方程

详细内容

直线的参数方程

一、教学内容分析
本节是2.1节参数方程的后继内容.参数方程是直角坐标系下曲线方程的另外一种表达形式，学习参数方程必须理解参数方程在表示某种曲线的价值（即学习参数方程的必要性）.因此，本节将通过实例建立直线的参数方程，并让学生体验直线的参数方程在实际生活中的应用.
二、教学目标设计
经历建立直线参数方程的过程，进一步理解参数方程的概念，体验直线的参数方程在问题的解决过程中的应用，感悟参数的基本思想.
三、教学重点及难点
直线的参数方程，直线的参数方程的应用.
四、教学流程设计

五、教学过程设计
一、 引入
复习：
1、曲线的参数方程.
2、建立曲线的参数方程时，参数的选取一般要注意什么？

[说明]
1、曲线参数的方程可由参数的不同选择，得到不同的参数方程.
2、参数可以选取时间、角、斜率、线段的长度等，这要根据曲线的性质来考虑.一般来说，选作参数的量应该注意两点：一，选定的参数可以确定曲线上一切点的位置；二，选定的参数与 、 的相互关系比较明显，容易列出它们之间的关系.
二、学习新课
1．实例引入直线的参数方程
如图，直线 的倾斜角为 ，一个质点从直线 上一点 出发，以每秒运动 个单位的速度沿着直线 匀速运动，经过 秒后，试确定该质点在直角坐标系中的位置.
分析与解：设经过 秒后，质点运动到点 ，质点在 轴方向的分速度是 ，在 轴方向的分速度是 .由于速度是有方向有大小的量，如果规定沿着直线 向上的方向为正，则当质点沿着直线 向上运动时， ，于是有：

当质点沿着直线 向下运动时， ，于是有：

即
总之，

显然，这里的 是质点运动 秒后的位移，即有向线段 的数量，不妨设 ，则 ，于是有：

当 不停变化时， 可以表示直线 上所有的点，于是，得直线 的参数方程为：
（ 为参数）
这里， 是直线 的一个方向向量，事实上我们还可以从直线的点方向式来建立直线的参数方程，即由 得到.
更一般地，如果直线 的一个方向向量为 ，则，

得直线 参数方程为：
（ 为参数）
[说明]
1．以实例引入直线的参数方程可以让学生理解学习参数方程的必要性；
2．在实例分析中，可以让学生初步体会参数 的几何意义.
2．例题分析
例1 已知直线 的参数方程是：

求过点 且与 平行的直线 在 轴截距.
（解见教材）
例2 一个小虫从 出发，已知它在 轴方向的分速度是 厘米/秒，在 轴方向的分速度是4厘米/秒，求小虫3秒后的位置Q.（本例中的时间单位为“秒”，距离单位为“厘米”）
解：由题意知直线PQ的参数方程是 ，其中时间 是参数，将 代入得Q（−8，14）.

例3据气象预报，现在在气象台 处向东400千米 处的海面上有一个台风中心形成，测得台风以40千米/小时的速度向西北方向移动，距中心不超过300千米的地方都受到台风的影响，从现在起，多少时间后气象台受到台风的影响？气象台受到台风影响的时间大约是多少？（结果精确到 小时）
（解见教材）
[说明]
通过本例，让学生再次体会学习直线的参数方程的必要性.
三、巩固练习
课本练习2.2（1）中的第1、2、3题.
四、课堂小结
（1）直线的参数方程；
（2）直线参数方程的实际运用.
五、作业布置
1、已知直线 过点 ，倾斜角为 ，判断方程 （t为参数）和方程 （t为参数）是否为直线 的参数方程？为什么？
2、直线 （t为参数）的斜率和倾斜角分别是 .
3、直线 （t为参数）的倾斜角 .
4、直线l过点P(1，2)，其参数方程为x =1 −t，y =2 +t(t是参数)，直线l与直线 2x +y −2 =0交于点Q，求PQ.
5、(选用)已知直线 的参数方程是 （ 为参数）， 上点 、 对应的参数分别为 和 ，试用 和 分别表示线段 的长度及其中点对应的参数.