集合的含义与表示(二)
详细内容
§1 集合的含义与表示(二)
自主学习
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．
1．集合的常用表示法有列举法和描述法．
2．列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法.
3．描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．
4．不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.
5．集合的分类1有限集；2无限集；3空集.
对点讲练
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)已知集合M＝x∈N|61＋x∈Z，求M；
(2)方程组x＋y＝2x－y＝0的解集；
(3)由|a|a＋b|b|(a，b∈R)所确定的实数集合．
点拨 解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．
解 (1)∵x∈N，且61＋x∈Z，∴1＋x＝1,2,3,6，
∴x＝0,1,2,5，∴M＝{0,1,2,5}．
(2)由x＋y＝2x－y＝0，得x＝1y＝1，
故方程组的解集为{(1,1)}．
(3)要分a>0且b>0，a>0且b<0，a<0且b>0，a<0且b<0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}．
规律方法 (1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然．
变式迁移1 用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x||x|≤2，x∈Z}；
(2)B＝{x|(x－1)2(x－2)＝0}；
(3)M＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(4)已知集合C＝61＋x∈Z|x∈N，求C.
解 (1)∵|x|≤2，x∈Z，
∴－2≤x≤2，x∈Z，
∴x＝－2，－1,0,1,2.
∴A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)∵1和2是方程(x－1)2(x－2)＝0的根，
∴B＝{1,2}．
(3)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
∴x＝1，y＝3，或x＝2，y＝2，或x＝3，y＝1.
∴M＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4)结合例1(1)知，61＋x＝6,3,2,1，
∴C＝{6,3,2,1}．
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合；
(2)方程x2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x－6<5的解集；
(4)函数y＝2x＋3的图像上的点集．
解 (1)文字描述法：{x|x是正偶数}．
符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．
(2){x|x2＋2＝0，x∈R}．
(3){x|4x－6<5，x∈R}．
(4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．
规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的性质．
变式迁移2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图像上所有点的集合；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图像的交点组成的集合；
(3)不等式x－3>2的解集．
解 (1){(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．
(2)x，y|y＝x＋3y＝－2x＋6＝x，y|x＝1y＝4.
(3){x∈R|x－3>2}．
列举法和描述法的灵活运用
【例3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
点拨 对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给二次函数图像上的点有无数个，宜采用描述法．
解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为
(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
∴x＝2y＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)“二次函数y＝x2－10的图像上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
变式迁移3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(4)二元二次方程组y＝xy＝x2的解集．
解 (1)列举法：{3,5,7}．
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}．
(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}．
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．
1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
(1)元素间用“，”分隔；
(2)元素不重复；
(3)不考虑元素顺序；
4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，
必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
2．使用描述法时应注意以下四点：
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；
(2)说明该集合中元素的特征；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)用于描述的语句力求简明、确切．
课时作业
一、选择题
1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )
A．{x|x是不大于9的非负奇数}
B．{x|x≤9，x∈N}
C．{x|1≤x≤9，x∈N}
D．{x|0≤x≤9，x∈Z}
答案 A
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )
A．{(x，y)|x＝0，y≠0}
B．{(x，y)|x≠0，y＝0}
C．{(x，y)|xy＝0}
D．{(x，y)|x＝0，y＝0}
答案 C
3．下列语句：
①0与{0}表示同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
答案 C
4．已知集合A＝a65－a∈N＋，则A为( )
A．{2,3} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3,6} D．{－1,2,3,4}
答案 D
解析 由65－a∈ 可知，5－a为6的正因数，所以5－a可以等于1,2,3,6，相应的a分别等于4,3,2，－1，即A＝{－1,2,3,4}．
5．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
答案 B
二、填空题
6．下列可以作为方程组x＋y＝3x－y＝－1的解集的是__________(填序号)．
①{x＝1，y＝2}； ②{1,2}；
③{(1,2)}； ④{(x，y)|x＝1或y＝2}；
⑤{(x，y)|x＝1且y＝2}；
⑥{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}．
答案 (3)(5)(6)
7．已知a∈Z，A＝{(x，y)|ax－y≤3}且(2,1)∈A，(1，－4) A，则满足条件的a的值为________．
答案 0,1,2
解析 ∵(2,1)∈A且(1，－4) A，
∴2a－1≤3且a＋4>3，
∴－1
答案 9
三、解答题
9．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x<5且x∈Z}；
(4){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；
(5){－3，－1,1,3,5}．
解 (1){－2，－1,0,1,2}．
(2){3,6,9}．
(3)∵x＝|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x<5，
∴x＝0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
10．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合．
解 用描述法表示为(即用符号语言表示)：
x，y|－1≤x≤32，－12≤y≤1，且xy≥0.
探究驿站
11．对于a，b∈N＋，现规定：
a*b＝a＋b a与b的奇偶性相同a×b a与b的奇偶性不同.
集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N＋}
(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？
解 (1)当a，b奇偶性不同时，
a*b＝a×b＝36，
则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M可表示为：
M＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，
所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．