集合的含义与表示教学设计
详细内容
e中的所有字母组成的集合；
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；
(3)由所有非负偶数组成的集合；
(4)直角坐标系内第三象限的点组成的集合；
(5)不等式2x－3＞2的解集．
解：(1)列举法：{W，e，l，c，o，m}；
(2)列举法：{3,5,7,11,13,17,19}；
(3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}；
(4)描述法：{(x，y)|x＜0，且y＜0}；
(5)描述法：{x|x＞2.5}.
知能训练
课后练习1,2.
【补充练习】
1．考查下列对象能否构成集合：
(1)著名的数学家；
(2)某校2013年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(6)3的近似值的全体．
答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．
2．用适当的符号填空：
(1)0__________N，5__________N，16__________N；
(2)－12__________Q，π__________Q，e__________ ∁RQ(e是个无理数)；
(3)2－3＋2＋3＝__________{x|x＝a＋6b，a∈Q，b∈Q}．
答案：(1)∈ ∈ (2)∈ ∈ (3)∈
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
解：∵2∈A，
∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．
∴m只能取3.
4．用适当方法表示下列集合：
(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；
(3)不等式x－3＞2的解集；
(4)自然数中不大于10的质数集．
答案：(1)描述法：{(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．
(2)描述法：(x，y)y＝x＋3y＝－2x＋6＝(x，y)x＝1y＝4.
列举法：{(1,4)}．
(3)描述法：{x|x＞5}
(4)列举法：{2,3,5,7}．
拓展提升
问题1：设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y2,0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q.
活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件――集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P，Q对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．
解：∵P＝Q且0∈Q，
∴0∈P.
若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，从而Q＝{x2＋y2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0；
若xy＝0，则x＝0或y＝0.
当y＝0时，P＝{x，x,0}，与集合中元素的 互异性矛盾，
∴y≠0；
当x＝0时，P＝{－y，y,0}，Q＝{y2，－y2,0}，
由P＝Q得－y＝y2，y＝－y2，y≠0， ① 或－y＝－y2，y＝y2，y≠0.②
由①得y＝－1，由②得y＝1，
∴x＝0，y＝－1或x＝0，y＝1，
此时P＝Q＝{1，－1,0}．
点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．
问题2：已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围．
活动探究：讨论关于x的方程ax2－3x＋2＝0实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．
解：(1)a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝23，符合题意．
(2)a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．
由Δ＝9－8a≤0，得a≥98.
∴当a≥98时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实 数根．
综合(1)(2)，知a＝0或a≥98.
点评：“a＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a≠0”的条件下，方程ax2－3x＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．
问题3：设S＝{x|x＝m＋2n，m，n∈Z}．
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1•x2是否属于S?
活动探究：针对问题(1)――首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋2n的形式；如果能，m和n分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．
针对问题(2)――首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋x2，x1•x2是否是集合S中的元素．
解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋2×0∈S.
(2)不妨设x1＝m＋2n，x2＝p＋2q，m，n，p，q∈Z.
则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.
∴x1＋x2∈S；x1•x2＝(m＋2n)•(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.
∴x1•x2∈S.综上，x1＋x2，x1•x2都属于S.
点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．
课堂小结
本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．
课后作业
习题1.1A组 3,4.
设计感想
本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．
备课资料
集合论的诞生
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．
康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数学王子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真 子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．
然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一 百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成 就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”