导数在实际生活中的作用

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§1.4导数在实际生活中的应用
目的要求：（1）巩固函数的极值与最值
（2）利用导数解决应用题中有关最值问题
例1．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

例2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为 ，电动势为 。外电阻 为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？

例4．强度分别为 的两个光源 ，它们间的距离为 ，试问：在连接这两个光源的线段 上，何处照度最小？试就 时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比）

例5．在经济学中，生产 单位产品的成本称为成本函数，记为 ；出售 单位产品的收益称为收益函数，记为 ； 称为利润函数，记为 。
（1）设 ，生产多少单位产品时，边际成本 最低？
（2）设 ，产品的单价 ，怎样的定价可使利润最大？

作业
1．函数 ，当 时， 的最大值为 （ ）
A. B.3 C.2 D.
2．已知函数 ，若 ≥ ，且 ，则 = （ ）
B.3 C. D. 1
3．已知函数 ,且对任意 ，都有 ，则 =
， 的单调性是 。
4．若函数 是R上的单调递增函数，则m的取值范围是
5．若函数 在[－2，1]上的最大值为 ，则
6．将8分为两正数之和，使其立方和最小，则这两个数分别为
7．已知函数 的图象与x轴切于点（1，0）处，则 的极大值为
8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是 则总利润最大时，每年生产的产品是
9．若函数 有最小值 ，则c=
10．已知函数 在 上的最小值为 ，则 =
11．已知函数 的图象如右图所示
(其中 是函数f(x)的导函数)，下面四个
图象中y=f(x)的图象大
致是( )

12．已知由长方体的一个顶点引出的三条棱长之和为1，表面积为 ，求长方体的体积的最小值和最大值。

13．已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值。

14．半径为 的球的内接圆锥的体积最大时高为多少？

15．在曲线 上有两点 ，求弧 上点P的坐标，使 的面积最大

16．已知等腰三角形 的底边 ， 的平分线交对边 于 ，求线段 长的取值范围。

17．求点 到抛物线 的最短距离。

18．某乡政府计划按100元/ 担的价格收购一种农产品1到2万担，同时以10%的税率征税，若将税率降低x个百分点，预测收购量会增加4 个百分点，问如何调整税率，可使总税收最高。

19．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

20．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

21．有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

22．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为 ．求产量q为何值时，利润L最大？

23．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）
24．已知曲线 ，在它对应于 的弧段上有一点P。
（1）若P点的横坐标为 ，求过P点的切线 的斜率；
（2）若 在y轴上的截距为z，求z的最小值

25．如图所示，曲线段OMB是函数 轴于A，曲线段OMB上一点 处的切线PQ交 轴于P，交线段AB于Q，（1）试用 表示切线PQ的方程；（2）设△QAP的面积为 是单调递减，试求出 的最小值；
（3） 横坐标的取值范围。