点积分配律
详细内容
篇一:《向量积分配律的证明》
向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：
a×b=|a|·|b|·Sin.
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1)外积的反对称性：
a×b=-b×a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：
a·(b+c)=a·b+a·c,
(a+b)·c=a·c+b·c.
这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：
i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：
ii)(a×b)·c=a·(b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).
由i)还可以推出：
iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律{点积分配律}.
2)，就有
r·(a×(b+c))
=(r×a)·(b+c)
=(r×a)·b+(r×a)·c
=r·(a×b)+r·(a×c)
=r·(a×b+a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0
这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b+c)-(a×b+a×c)=0
所以有
a×(b+c)=a×b+a×c.
证毕。
三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：
a×b=|a|·|b|·Sin.
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1)外积的反对称性：
a×b=-b×a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：
a·(b+c)=a·b+a·c,
(a+b)·c=a·c+b·c.
这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：
i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：
ii)(a×b)·c=a·(b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).
由i)还可以推出：
iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律
2)，就有
r·(a×(b+c))
=(r×a)·(b+c)
=(r×a)·b+(r×a)·c
=r·(a×b)+r·(a×c)
=r·(a×b+a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0
这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b+c)-(a×b+a×c)=0
所以有
a×(b+c)=a×b+a×c.
证毕。
篇二:《利用矢量矢积分配律求解安培力》利用矢量矢积分配律求解安培力
作者：马凤翔
来源：《科技创新导报》2011年第14期
摘要:本文利用矢量矢积分配律公式计算了均匀磁场中载流导线所受安培力。关键词:均匀磁场安培力矢积分配律
中图分类号:O4文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)05(b)-0253-01
如图(1)所示,在xy平面上有一形状不规则载流导线,电流为I,起始点的距离为L,磁感应强度为的均匀磁场与平面垂直。求作用在此导线上的磁场力。
教材中的作法是建立如图(1)所示的坐标系,在该载流导线上任取一电流元,它所受的力为此力沿ox轴和oy轴的分量分别为:(如图1)
而故上两式分别为
和由于载流导线是放在均匀磁场中,故整个载流导线所受的磁场力沿ox轴和oy轴的分量分别为
于是载流导线所受的磁场力为若该载流导线始点和终点合在一起,就构成一闭合回路。可得此闭合回路所受的磁场力为零。
以上分解的前提是载流导线上各点所受力均在xy平面上,如果磁场与xy平面的夹角为时如图(2)所示,那么该导线所受的磁场力又为多少呢？(如图2）
若用以上方法来计算,因有角进行受力分析时往往使学生感到烦杂,教材中的作法是,
对于将一个矢量直接从积分号中提出来同学们又感到疑惑,下面我们利用来计算:同样在导线上取一电流元,其受力则整段导线受力为各电流元受力的矢量和,即
…………
这样计算的方向和大小都一目了然,同时,也适用于当导线所在平面与磁场垂直时的结果。当然,如果是闭合回路则,有。
显然通过巧用数学矢量矢积公式,既略去了烦琐的受力分析,又使得求解过程更加简明。
参考文献
[1]马文蔚.物理学(中册),第四版[M].北京高等教育出版社,1999.
[2]张三慧.大学物理学(第三册)电磁学,第二版[M].清华大学出版社,2000.
篇三:《乘法分配律与乘法结合律的异同点》乘法分配律与乘法结合律的异同点
乘法分配运算定律的教学，对学生来说有点抽象，由于小学生的认知和思维发展水平还比较低，抽象思维能力比较弱，因此对学生来说乘法分配律是难点，需要通过丰富的实例，让学生体会规律，然后引导学生自已总结，发现规律，使学生经历规律的猜测，论证、结论。并与乘法结合律的区别，都存在括号，最大的区别是分配律含有两级运算，而结合律是同级运算：连乘。
篇四:《分配律》深化策略解构——《乘法分配律》实践与思考
一.典型错题再现与原因分析
1．错题再现
在教学四年级下册《乘法分配律》时，发现学生在练习中的错题
较多，在课题《小学数学1-6年级典型错题资源库的建设与应用》的{点积分配律}.
错题库里也同样反映出了这种现象，出错率较高的是如下题目：(80＋4）×25=80＋25×425×(4×8)=25×4+25×8
12×97+3=12×(97+3）32×25×125=（4×25）+（8×125）
2．原因分析及反思
面对这样的错误率，教师一般又要花上好几节课的时间进行强化
训练才能使学生的这些错误有所好转说不好到了期末阶段或是升上
一个年级，错误又“卷土重来”这样的效果使我们很郁闷，问题到底
出在什么哪里？
我们开始行动——
（1）“师生访谈”不放松
访谈是收集资料的有效途径之一我们对相关数学教师进行了访
谈，大家有同感：乘法分配律由于学生没有生活经验基础及相关认识，
其运用又变化多端,所以课即使上了,他们也没能真正理解其内涵,只
是纯粹地模仿；课后，学生对这个知识点的遗忘速度非常快，且不会
灵活运用对于数学基础薄弱的学生，哪怕硬记了分配律的各种类型，
依旧边记边忘，更谈不上从真正意义上去理解
我们又对出错学生进行了重点访谈，部分访谈记录如下（T为老
师，S为学生）：
①（80＋4）×25=80＋25×4
T：说说看你为什么这样写？
S：25和4是好朋友嘛，就用乘法分配律相乘了
T：既然用乘法分配律了，那80呢？
S：额„„我错了，也要乘25
②12×97+3=12×（97+3）
T：请你读一下题
S：（读了一次）
T：发现了什么？
S：97和3凑整啊，很简单啊！
T：读一下运算符号
S：（读了2次）完了完了„„T：什么完了？
S：先算乘，再算加，我明白了！
T：恩，你自作主张改变了运算顺序（生脸红）不过有简算方法吗？
S：有，把97写成100—2„„
③25×(4×8)=25×4+25×8
T：为什么要用25分别去乘4和8？
S：用乘法分配律啊？！（一脸疑惑）
T：是吗？我觉得有点问题，一起找找
S：（看了20秒左右）符号看错了，这里是连乘
T：那你觉得应该怎么修改？
S：25×4×8=800
T：审题要仔细，别看走眼哦！（生笑）
④32×25×125=（4×25）+（8×125）
T：为什么想到了把32拆成4乘8？
S：4和25凑成100，8和125凑成1000
T：恩，真会观察不过，这个“+”是怎么冒出来的？S：（无语）„„是乘，是乘
„„
访谈后发现首要问题是这些学生知道在使用乘法分配律，但普遍说不完整乘法分配律；第二个问题是关注点在“凑整”上，以为达成了凑整，就完成了简算，完全不去考虑符号等细节问题；第三个问题是受到乘法结合律的负迁移的影响，想当然得出了这样的算式
（2）“教材对比”不马虎
教材研讨对比是发现问题的有利渠道之一我们查阅了几个版本教材对这一内容的编排特点，发现人教版北师大版的教材都是这样编排的：从问题情境列出算式入手，发现两边的算式结果是相等的，仿写这样的很多例子，于是采用不完全归纳法得出了乘法分配律（a＋b）×c=a×b＋a×c，一般教师的教学程序正好体现了教材的编排意图说明利用情境帮助学生学习乘法分配律已经达成了共识
（3）“前测分析”不大意
数据分析是寻源究底的直接依据我们又对教学班级进行了一次
前测，测试的结果显示：学生对于乘法分配律的知识起点不高，学生对于它的基本模型的感知度低，从中也可看出对于乘法意义的理解不够灵活在解决问题时，不同的情境事件学生解决方案也是有差别的，或只是应用乘法分配律的左一半，或只是应用乘法分配律的右一半，“一题多解”的思想并未深入人心
通过对师生的访谈各版本教材的分析和我们的前测，我们认为根本原因在于学生不知道为什么乘法分配律会成立，从两边算式相等中提取乘法分配律，只是机械记住了乘法分配律的形式，学生只知其然不知其所以然是最根本的原因，没有很好从意义入手理解乘法分配律，不利于学生对知识的掌握，也不利于建立数学模型我们认为乘法分配律教学必须关注意义建构，在建构的基础上，寻找学生的起点与经验，以解决问题的策略形式解构模型，予以深化
基于此现象，我们把问题追溯到了乘法分配律的新授课我们清晰地认识到了在新授该定律时，应从最核心的乘法意义作引，根据意义建立模型，提前将典型错题进行干预，并提炼生活中的乘法分配律例子，让学生充分感知，夯实乘法分配律知识的建构
二．改进教学尝试
教学目标：
1．使学生能够掌握乘法分配律并能初步感知它在简算中的作用；
2．通过观察分析比较，引导学生概括出乘法分配律并理解与体会它的建构过程；
3．培养学生能够从生活中提炼数学知识的能力
教学重难点：抽象概括出乘法分配律，理解乘法分配律知识的建构
教学过程与思考：
一．铺垫孕育，初构雏形
师：请你根据意思说算式或根据算式说意思课件出示：6个50的和是多少？15个8的和是多少？20个7加上5个7，和是多少？【乘法分配律萌芽开始出现】
101×98表示什么？（生：100个98加上1个98的和）【学生对于乘法意义掌握充分，这是良好的开端】
师：请你计算101×98，你会怎么算？【有意“挑衅”，让学生的思维开始慢慢一致，拉近和乘法分配律的距离】
生：用100个98加上1个98（师板书：（100+1）×98=100×98+1×98，再用笔算验证方法的正确性）
师：请你再来试试102×45【让学生再次体验意义】（板书：（100+2）×45=100×45+2×45）
师：左右两边的算式有什么联系？【从意义出发慢慢让学生开始建模乘法分配律，引导学生说出：只要用括号里的100和2分别去乘45（板书：分别去乘，并用箭头表示分别去乘），体现乘法分配律最本质的变化“分别去乘”，这时学生大脑中已有了雏形】
师：你还能用这种方法继续来算吗？
课件出示：（200+4）×25（12+18）×7
乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c
乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)
乘法交换律a×b=b×a
加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
乘法分配律练习题
类型一：（注意：一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相加）（40＋8）×25125×（8+80）36×（100+50）24×（2＋10）86×（1000－2）15×（40－8）{点积分配律}.
类型二：（注意：两个积中相同的因数只能写一次）
36×34＋36×6675×23＋25×2363×43＋57×63325×113－325×1328×18－8×28
类型三：（提示：把102看作100＋1；81看作80＋1，再用乘法分配律）
78×10269×10256×10152×102125×81
类型四：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配律）{点积分配律}.
31×9942×9829×9985×98125×79
类型五：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律）
83＋83×9956＋56×9999×99＋9975×101－75125×81－125
判断，若错了请改错。1、先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。（）
2、1250÷（25×5）=1250÷25×5（）{点积分配律}.
3、102×98=（100+2）×98这里运用了乘法的分配律。……（）
4、125×17×8=125×8×17这里只运用了乘法结合律。……（）
5、179+204=179+200+4…………………………………………（）
6、先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。（）
说说它们用了哪些方法。请填入选项{点积分配律}.
A、加法交换律B、加法结合律C、乘法结合律D、加法交换律和结合律
1、56+72+28=56+（72+28）运用了（）
2、25×（8+4）=25×8+25×4运用了（）
3、3×8×4×5=（3×4）×（8×5）运用了（）25×4125×3991×31－91
75×14—70×14101×3812×9855×99+5512×29+1258×199+58125×32×2599×99+9942×79+4252×8969×101—6955×21—55
125×（80+8）125×（80×8）38×7+31×1425×46+50×2779×25+22×25—25
55×9925×125×8×4（80+8）×2535×37+65×37135×6+65×6
（43+25）×408×（125+7）18×82+18×47+18×7125×（40－4）16×256－16×56125×（80+8）69×45+31×4538×29+3123×99+123125×7+125
79×99+7935×10247×10125×4445×201－45
98×3738×101－3887×19925×199+2525×199
99×201－99102×83125×88124×25－25×24（80+8）×2535×37+65×37135×6+65×6（43+25）×408×（125+7）18×82+18×47+18×71
4×24+26×2430×2+25×2（30×25）×40（15×25）×4（6×12）×5
6×（12×5）13×（5×20）299×120+12038×25×48×17×1254×8×25×125
355+260+140+245102×9927×16＋73×16645-180-245382×101-3824×60×50×8
35×8+35×6-4×35（125×99+125）×169998＋3＋99＋998＋3＋95×999+5+99×7+7+3×9+3+9
702-54-46600-137-633600+217+83627+48+173+12368-129-71
532-128-72462－83－1175246－（246＋694）472－163－37425－38＋75
654－199890－132－2681289－（289＋249）425－38＋75472－163－37
598＋735280÷8÷5100÷25÷43600÷18÷21280÷16÷8
125÷5÷544÷（12×3）44×2599×12699×38＋38
88×12542×54+54×58+64165×77-65×7798+265+202273-73-27
250×13×488×125136×101-1364600÷25÷4498×109+2×109
95×1029600―453―547252×12＋348×12184＋98695＋202
864－199738－301380＋476＋120（569＋468）＋（432＋131）256－147－53
373－129＋29189－（89＋74）456－（256－36）28×4×25125×32×25
9×72×125720÷16÷5630÷42102×3598×42
26×39＋61×26356×9－56×999×55＋5578×101－7852×76＋47×76＋76
134×56－134+45×13448×52×2－4×4825×23×（40＋4）999×999＋1999158+262+138
375+219+381+2255001－247－1021－232（181+2564）+2719378+44+114+242+222276+228+353+219(2130+783+270)+101799+999+9999+999997755－(2187+755)2214+638+2863065－738－1065899+3442357－183－317－3572365－1086－214497－2992370+1995
3999+4981883－39812×2575×24138×25×4(13×125)×(3×8)
(12+24+80)×50704×2525×32×12532×(25+125)88×125
102×7658×98178×101－17884×36+64×8475×99+2×75
83×102－83×298×199123×18－123×3+85×12350×(34×4)×325×（24+16）
178×99+17879×42+79+79×577300÷25÷48100÷4÷7516800÷120
30100÷210049700÷7001248÷243150÷1521500÷125(375+1034)+(966+125)